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六年级上册数学教材分析
本册教材共有七个单元，其中“数与代数”的内容有分数乘除法、分数四则混合运算、百分数、解决问题策略，“空间与图形”的内容有长方体和正方体。综合与实践有《树叶的比》和《互联网的普及》和探索规律活动《表面涂色的正方体》。
一、教材的主要调整与变化
第一单元的方程移到了五年级下册，与五下的方程合并成一个单元；删去了《可能性》单元，一方面数学课程标准降低了概率部分的教学要求，不再要求对随机现象发生的可能性的大小作定量的描述。另一方面学生对用分数描述简单随机现象发生的可能性大小，理解起来有一定的困难，所以删去实验教材六年级上册的《可能性》单元。原来的综合实践与应用调整为《树叶的比》和《互联网的普及》，其中《树叶的比》主要引导学生综合应用比、统计等有关知识，探索并发现树叶中隐含的简单规律；《互联网的普及》主要引导学生通过调查，了解本班同学及家庭互联网的普及情况，体验应用百分数描述和分析数据的过程。增设“探索规律”的活动《表面涂色的正方体》，引导学生通过把表面涂有颜色的正方体切成若干个小正方体的操作，探索小正方体表面涂色的各种情况中隐含的简单规律；设置“动手做”的栏目，安排了3次“动手做”的活动。除此以外教材还合理整合分数、比、百分数等教学内容，以凸显知识间的联系，帮助学生建立合理的认知结构。首先把《分数除法》和比合并成一个单元，把这两个单元合并在一个单元教学，更有利于学生体会知识间的联系，建构模块化的知识系统；其次把《认识百分数》和六年级下册《百分数的应用》合并成一个单元，认识百分数的目的在于运用百分数的知识解决问题，而运用百分数的知识解决问题，又可以促进对百分数的理解。把这两个单元合并起来，可以更好的体现教学内容体系的完整性和连贯性，促进学生的数学理解。从调整后的教材来看，六上的教学内容除了长正方体和解决问题的策略，其他内容都为分数百分数的知识，可以说教学任务比较重。
虽然六上大的教学板块没有多大的变动，但每个单元还是有小的变化，下面我们一个一个单元进行分析。
二、各单元教材分析
长方体和正方体
本单元系统教学长方体和正方体的知识，教材把内容整理成三部分，先教学长方体和正方体的形状与结构特点，使学生具有清晰的立体图形的表象；接着教学长方体和正方体的表面积，使学生理解表面积的含义，知道长方体和正方体的表面积计算方法，并且灵活应用表面积知识解决实际问题；然后教学体积和容积的知识，使学生初步建立体积与容积的概念，认识常用的体积单位与容积单位，掌握计算长方体和正方体体积的方法，解决有关体积或容积的实际问题。具体安排如下
例1、例2长方体的形状特征、正方体的形状特征
例3长方体、正方体的表面展开图
例4长方体、正方体表面积的意义与计算方法
例5表面积知识的实际应用
例6、例7体积的意义、容积的意义
例8常用的体积单位和容积单位
例9、例10长方体、正方体的体积计算公式
例11用“底面积×高”计算长方体或正方体的体积
例12体积单位间的进率与简单换算
单元整理与练习
本单元教学内容在编排上有以下特点。
第一， 有一条合理的编排线索。先教学长方体、正方体的特征，再教学它们的表面积，然后教学体积，是一条符合知识间的发展关系，有利于学生认知的线索。
第二，加强了空间观念。教学长方体和正方体，历来都很重视发展空间观念。本单元不仅在传统的基础知识的教学时加强培养，还充实了长方体、正方体表面展开的内容。把几何体与其展开图之间的转化作为空间观念的一个内容，把能进行这些转化作为空间观念的一种表现。
第三，注重知识的实际应用。本单元教学的知识与学生的日常生活有密切的联系。在现实的问题情境中能发现和认识数学知识，习得的概念和方法能应用于解决实际问题。教材尽力从数学的角度提出问题、解释问题，引导学生综合应用数学知识、技能解决问题，处处能看到数学与生活的有机结合。如认识长方体、正方体的特征以后，收集这样的实物并量出长、宽、高或棱长；在做纸盒和鱼缸的实际问题中教学表面积的计算和应用；用初步建立的体积（容积）概念比较物体的大小；用学到的体积单位计量常见物体的体积、常见容器的容量；灵活应用体积公式计算沙坑里沙的厚度、塑胶跑道的用料问题……
与实验教材相比，本单元主要有两点变化
1．揭示长方体、正方体的关系。
对于长方体和正方体的关系，实验教材是在六年级下册《总复习》单元安排的。一方面，理解概念间的属种关系是弄清概念外延的必要前提，也是建立概念的重要环节；另一方面到了六年级学生的理解能力、思维能力都有了相当程度的发展，探索并理解这一关系不会有太多困难。本次修订，安排专门环节教学长方体和正方体之间的关系，教材要求学生比较长方体和正方体有哪些相同的地方，体会正方体具有长方体的所有特征：它们都有6个面，都是相对的面完全相同；它们都有12条棱，都是相对的棱长度相等；它们都有8个顶点。正方体有些特征是长方体不具备的，在这些比较的基础上，教材明确指出“正方体是特殊的长方体”，并用集合表达这种关系。集合图用一个较大的圈表示所有的长方体，用一个较小的圈表示所有的正方体，小圈在大圈里面，表示正方体是长方体中的特殊部分。帮助学生明晰长方体和正方体的外延，更好地掌握长方体、正方体的特征。
2.精心设计数学活动线索。
这也是本册教材的亮点之一。教材特别强调针对教学内容的重点、难点和关键，精心设计数学活动线索，为教与学的双边活动提供实实在在的启示。例如（例5），教学用长方体表面积计算方法解决问题时，原来教材提出问题直接呈现出计算方法，现在把它细化了，首先提出“求需要玻璃多少平方分米，就是求长方体哪几个面面积的和，可以怎样计算？”引导学生讨论是求哪几个面，再具体研究计算这些面的方法。二是“用长方体表面积的方法解决实际问题时，要注意什么？” 因为现实生活里使用长方体或正方体表面积的知识，解决的实际问题复杂多变。有些物体有6个面，有些物体只有5个或4个面。需要学生根据实际问题确定是求哪几个面，根据长方体面的特征，确定选择长宽高的哪一个数据算出结果，所以教材在教学长方体正方体表面积时没有出现公式，要求学生正确理解题意，联系生活经验，灵活应用数学知识。
教学建议
（一）观察、整理--有条理地认识长方体和正方体的特征
观察物体、整理特点是认识长方体的主要教学活动，例题把教学过程设计成三步。
1. 观察长方体，认识直观图，以及面、棱和顶点。
例题以三上的经验为教学起点，在观察物体的基础上理解长方体、正方体的直观图，认识它们的面、棱和顶点。把立体的样子画在纸上，从实物到它们的直观图，是空间观念的一次发展。把立体与其直观图有机联系，感受直观图真实表达了立体的形状，并在看到直观图时，能想到相应的立体，这是空间观念的表现。直观图是教学难点，从有利于学生理解出发，可以分两步出现。先画出能够看到的面，再勾出不能看到的面。
2.分类观察，由“量”到“质”认识长方体的特征。
认识长方体的特征，鼓励主动探索，重视合作交流，遵循逐渐认识的规律。教学要注意：一是学生对长方体的认识不会一步到位，总是由表及里、由浅入深、点滴积累、逐步进展的。教学长方体的特征既要让学生自主，又要教师及时引导点拨。如发现6个面都是长方形比较容易，而相对的面完探索全相同往往需要教师引导学生去关注、去比较。至于长方体的3组棱以及每组4条棱长度相等，可能更需要教师的指点。二是例题例题里观察的是一般的长方体，目的是紧扣长方体的本质特征教学。把较特殊的长方体安排在练习三第1、2题里出现，学生不会因为它有两个面是正方形，对它是长方体产生怀疑。这样安排也符合正方体从属于长方体的关系。三是要通过教学长、宽、高继续认识长方体，通常把长方体竖直位置的棱称为高，上面或下面的一条较长的棱称为长、较短的棱称为宽。从长方体的任何一个顶点，都能找到长方体的长、宽、高，不但要让学生在立体上指出，还应要求他们在直观图上看出来。如果适量地把长方体横放、竖放、侧放，根据不同的摆放位置，让学生说说它的长、宽、高，可以防止死记硬背，发展空间观念。
3. 观察物体，独立发现正方体的特征。正方体比长方体简单，又有认识长方体特征的经验，所以正方体特征的教学可以让学生自主探索。
（二） 展开、折叠--认识长方体和正方体的表面展开图
1. 让学生初步知道表面“展开图”的含义，加强对正方体的认识。
知道表面展开图是平面图形，清楚地看到正方体的表面展开图由6个完全相同的正方形组成。教学这道例题除了仔细展开正方体纸盒的各个面，还要注意展开以后的回顾与反思。让学生回忆是怎样展开正方体表面的，思考为什么展开图里有6个同样的正方形，正方形的边长与正方体的棱长是什么关系……通过反思，加强对表面展开图的体会，加强对正方体特征的认识，在立体与它的表面展开图关系的思辨中发展空间观念。
“豆荚”卡通要求学生“沿着其他棱试着剪一剪”，再次进行展开正方体表面的活动，体会沿着不同位置的棱剪，得到的展开图形状不同。理解正方体表面展开图既有多样性，又有确定性。
2. 让学生自主研究长方体的表面展开图，加强对长方体的认识。
长方体的表面展开图，学生已有学习正方体表面展开图的活动经验会支持他们主动地操作、交流。 “玉米”卡通提出的“从展开图中找到3组相对的面”是富有思维含量的问题，能引发学生进一步研究展开图，并把展开图与立体联系起来思考。要鼓励学生反复进行“展开表面→围成长方体→展开表面→围成长方体……”的折叠、展开活动，仔细研究展开图里的每一个长方形，想想它在长方体上的位置；看长方体的各个面，想想它在展开图里的位置。让学生在体验立体与表面展开图相互转化的过程中发展空间观念。
另外，还可以在表面展开图上想长方体的长、宽、高，并把长、宽、高转换成展开图中各个长方形的长与宽。学生进行这些转化，也能加强对长方体的认识，还能为学习表面积作些准备。
3. 判断哪些图形折叠后能围成正方体或长方体，加强对“体”的感受。
配合例3的“练一练”第2题，练习一第6题要求观察教科书附页里的图形，想想沿着虚线折叠，哪些图形能围成长方体。第7题要求分别找到三个长方体或正方体的表面展开图。教材编排这些习题，目的是加强立体与它的表面展开图的相互转换。学生进行这些判断往往会有困难，这里提出两点教学建议：第一，在例3和“试一试”里要把沿不同的棱剪纸盒得到的各个展开图充分展示和交流，先认识“标准”和“比较标准”状态的展开图，再体会展开图还有其他形状，并在各个展开图上指出立体中三组相对的面。第二，允许学生灵活地“先想后围”或者“先围后想”。如果看到的图形是“标准”的或者接近“标准”的，可以先判断它能不能围成立体，想想围成的立体是什么样子，然后动手折叠，验证刚才的判断与想象。如果看到的图形不是“标准”状态的，可以先动手操作，从中体会为什么能围成或围不成立体。
（三） 分解、组合--有意义地建构长方体和正方体表面积的知识
1. 联系已有知识经验，探索表面积的知识。
例4创设的问题情境是做一个长方体纸盒要用多少硬纸板，引导学生联系已有经验，探索表面积的知识。 “辣椒”卡通和“蘑菇”卡通的算法是比较典型的两种方法，他们有相同的目标：求出纸盒各个面面积的总和。但他们的算法不同：一种算法是分别求出3组相对的面的面积，再相加求出总面积；另一种算法是先求出3组相对面中各一个面的面积和，再把面积和乘2。两种算法都得益于练习一第3题的孕伏，都是计算长方体表面积的较好方法，而乘法分配律可以沟通两种算法的内在联系。
教材里不归纳表面积公式，并不意味可以淡化表面积算法的教学，而是要让学生联系表面积意义自主建构表面积的算法。
2. 联系生活经验，灵活解决实际问题。
现实生活里经常会使用长方体或正方体表面积的知识，解决的实际问题复杂多变。有些物体有6个面，有些物体只有5个或4个面。这就要求学生正确理解题意，联系生活经验，灵活应用数学知识。例5呈现一个长方体玻璃鱼缸，题目指出它“无盖”。教材通过鱼缸的示意图帮助学生理解这个实际问题的特点，明白所用玻璃的面积是长方体5个面的面积和。例题安排学生交流解决问题的思路，鼓励他们灵活应用表面积的知识。“番茄”卡通和“辣椒”卡通都是计算玻璃鱼缸5个面的总面积，而具体的算法不一样。一种算法是有哪5个面，就把这5个面的面积相加。即把鱼缸的前、后、左、右和下面的面积相加。另一种算法是缺少哪个面，就从6个面的总面积里减去那个面的面积，即“表面积-上面的面积”。两条思路各有特点，前一条思路对空间想象的要求比较高，必须找准并正确计算有关的5个面的面积。后一条思路的思维负荷稍轻些，只要集中力量思考缺少的一个面。在整理解题思路以后，教材让学生选择一种方法算出结果，加强对思路的理解与把握。至于“还有其他方法吗”，一般只是利用前一种思路解题，列出略有不同的算式。如5个面的面积连加，或者前面的面积×2+左面的面积×2+下面的面积等。要注意，这道例题鼓励学生解决问题的思路与方法多样，不是要求他们一题多解，而是希望学生积累解决长、正方体表面积实际问题的经验，学会从实际问题出发，确定计算哪几个面的面积和。只要选择一种方法解决问题。
练习二配合例4和例5的教学，习题的设计有两个特点。一是“实”，扎扎实实地练习表面积的意义和算法。尤其是第1、2两题，分别消化计算长方体表面积的两条基本思路与两种常用方法。二是“活”，灵活应用表面积的知识。解决的实际问题中，有些求5个面的面积，有些求4个面的面积，还有只求一组相对面的面积。教材为这些实际问题配了示意图，帮助学生直观感受实际问题涉及几个面、是哪几个面。第9题要求计算教室里的粉刷面积，要在四面墙壁和顶面的基础上去掉门窗的面积。第10题要求计算长方体火柴盒的内盒与外盒各用多少硬纸，要把测量长度和计算表面积结合起来。这两题都有利于培养学生的实践能力。(练一练的第1题编排在练习二的第6题，删除了关于台阶占地面积)
（四） 实验、领悟--初步建立体积和容积的概念
“物体所占空间的大小叫作物体的体积”这句话虽然不长，却含有“空间”“物体占有空间”“空间有大小”等比较抽象的内涵。教材安排了比较丰富且有层次的感知活动，让学生初步感受体积的意义。
1. 在有限的空间里领悟体积。对小学生来说，“空间”似乎看得见又好像看不见，似乎摸得着又好像摸不着，真是似懂非懂。教材从“有限”空间切入，逐步向“无限”空间扩展，有利于学生感受与体积有关的现象，积累关于体积的感性认识。教学过程设计成四步：第一步利用杯子里的有限空间，初步体会“空间”和“物体占有空间”。第二步是感受不同的物体占的空间有大、有小。第三步在“无限”空间里，继续体会每个物体都占有一定的空间。在这些感性认识的基础上，就能意义接受教材关于物体体积意义的描述，理解“物体所占空间的大小叫作物体的体积”这句话的含义。第四步是让学生举例，并比比列举的两个物体体积的大小。把抽象的概念具体化，引导学生自完整地说出“××的体积比××的体积大（小）”。还要联系物体解释什么是它的体积，如电冰箱的体积是它占有空间的大小，电冰箱的体积比电视机的体积大。
2. 从体积引出容积，初步建立容积概念。容积与体积是两个既有联系、也有区别的概念。教学容积的意义要以体积概念为生长点，这是教材把体积和容积安排在连续的两道例题里教学的原因。教学一方面要以旧引新，另一方面要体现容积与体积是不同的概念。从“容器能够容纳物体”的事实，接受“容积”这个数学术语；从“有些容器容纳的物体大，有些容器容纳的物体小”，理解容积是容器“能够容纳的体积”。为了帮助学生建立容积概念，可以适当补充一些实例，让学生懂得“容器”，体会每个容器能容纳的体积是有限的、确定的。在充分感受的基础上，得出教材关于容积意义的描述。
（五） 通过认识、应用，初步掌握常用的体积单位
本单元教学的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米。有了体积单位，就能测量、表达物体的体积，也能进一步体会体积的意义。
1. 认识体积单位包括两方面内容。
例8教学常用的体积单位，首先是测量、计量体积需要体积单位，然后是各个体积单位的具体含义。
2. 掌握体积单位有两方面的要求。
掌握体积单位，要能应用体积单位计量物体的体积。在这部分教材里，一是说出由1立方厘米小正方体摆成的物体的体积，二是为常见的物体选择合适的体积单位。
练习三第9题要求为物体选择合适的体积单位。学生能不能填出合适的单位，一般决定于三个因素：一是对物体的熟悉程度，二是具有体积单位的正确表象，三是能够开展有效而周密的思考。如学生都熟悉西瓜，了解一个西瓜大致是多大，如果西瓜的体积是8立方厘米或者是8立方米，显然都不符合实际。所以，计量一个西瓜的体积，用立方分米这个单位比较恰当。反之，如果勉强学生为不熟悉的物体选择体积单位，他们只能脱离实际地乱猜，这是毫无意义的。教材里的橡皮、集装箱、水桶都以图画呈现，能够唤起学生对这些事物的回忆。他们联系现实生活里的这些物品，就能寻找到适当的体积单位。
3. 进一步教学升与毫升。
四年级（下册）曾经教学升与毫升，初步知道它们都是计量液体的单位，也是容器的容量单位。对1升、1毫升液体是多少有了初步的认识。现在教学升和毫升，主要有两个内容： 第一，升和毫升都是体积单位，用于计量液体的体积，也用于计量容器的容积。把升与毫升纳入体积单位的范畴，建立新的知识结构，是已有认识的深化和提高。第二，1升等于1立方分米，1毫升等于1立方厘米，利用1立方分米、1立方厘米的表象理解1升与1毫升的实际大小，使原有认识更清晰、更牢固。
（六） 通过测量、发现，探索长方体和正方体的体积计算公式
1. 让学生探索求积公式。长方体、正方体体积公式的教育价值不只是让学生知道公式和应用公式。如果把教学目标只是定位在记忆并按公式计算上，学生在这个内容学习中得到的发展是不充分的。其实，得出体积计算公式有许多教学活动可以开展，从中能加强对体积意义、体积单位的理解，能积累数学活动经验、提升数学思维水平、发展解决问题的策略，能培养探索精神、实践能力，还有利于形成积极的情感态度。因此，教材十分重视得出体积计算公式的过程，编排三道例题教学这部分内容。例9和例10通过摆学具、量体积，推导出长方体和正方体的体积计算公式。例11深入剖析长方体与正方体的体积公式，形成更加上位的认识与算法。
写正方体体积的字母公式时，根据字母表示数的书写规则和人们的习惯，一般乘号省去不写，表示成V＝a3。字母公式中a3是新知识，它的写法、读法以及表示的意思都要对学生讲述清楚。 “练一练”第2题计算整数或小数的立方，是配合正方体体积计算的专项练习，解决正方体体积的实际问题，经常会遇到这样的式子。其中13、103、0.13要提醒学生特别注意，防止算错。
2. 深入理解体积公式。学生经过操作实践，得到的长方体体积公式和正方体体积公式，进一步深入研究这两个体积计算公式，还能发现相同的内涵。体积公式“底面积×高”，这本身就是一次认知的简化。而且，“底面积×高”还是计算所有直柱体体积的方法。无论底面是直线图形的柱体，还是底面是曲线图形的柱体，体积公式都是V＝Sh。前一点意义，在本单元的教学中就能体现；后一点意义，在以后的教学中会逐渐体现出来。配合例11的“练一练”第3题，已知一根长方体木料的长与横截面的边长，求这根木料的横截面面积和体积。“横截面”是首先出现的概念。教材利用示意图帮助学生理解横截面的含义。安排先算出横截面的面积，再求木料的体积，学生可以通过计算横截面的面积，进一步体验这个面的含义。这样，长方体和正方体的体积公式还能演变成“横截面面积×长”或者“横截面面积×棱长”，从而对体积计算有更加充实、更加丰富的体验。
（七） 通过计算、类比，理解体积单位的进率
1. 求两个同样大小的正方体的体积，发现和理解进率。2. 应用进率进行简单的换算。
单元的整理与练习中第2题利用量杯测量形状不规则的土豆的体积。没有放土豆的量杯，水面在600毫升的刻度上；放了土豆的量杯，水面上升到800毫升刻度上。水面上升200毫升的原因是“土豆占有空间”，所以土豆的体积是200立方厘米。教学这道题要注意三点：一是让学生看懂图意，看清量杯水面位置的变化。二是让学生从物体占有空间的角度，解释量杯水面上升的原因，加强对体积意义的理解。三是计量量杯里的水的体积可以用毫升为单位，表示土豆体积应该用立方厘米为单位。
第7~10题都比较复杂。首先是题意比较复杂，学生理解题意会有些难度。其次是解答过程比较复杂，设计解题步骤会有些难度。三是列算式和计算比较麻烦，得出正确结果不是很容易。为此，要重视学生的读题、说题，让他们自己读、反复读，直至读懂题目；让他们复述题意，把实际问题的内容（包括已知些什么、求什么）用自己的话说清楚。只有当实际问题正确且完整地进入短时记忆状态，才有可能顺利解题。要重视学生的独立思考和合作交流，让他们经过自己的努力和相互的启发，形成解题的思路与方案。要重视对解题结果的检验，对解题过程和方法的反思，在正确解题的同时，积累解决问题的经验。
“探索与实践”求一张纸的体积。一张纸的长、宽可以测量，“厚”则很难量得。对小学生来说，这个“厚”是无法测量的。教材鼓励学生小组合作，具体想办法解决问题。如，选择若干张同样的纸，摆成一个长方体，先求得长方体的体积，再计算一张纸的体积；又如，把一张纸对折几次，折成一个能够测量长、宽、高的长方体，算出的长方体的体积，就是那张纸的体积。
分数乘法
本单元在分数的意义和性质、分数的加法和减法等基础上编排，教学分数乘法的知识。通过本单元的教学，学生将进一步理解分数的意义，扩展原来的乘法概念，掌握分数乘法的计算，并且为学习分数除法作充分的准备。
分数乘法的知识主要有两块：一块是分数乘法的意义，另一块是分数乘法的计算。分数乘法是小学计算教学的重要内容。解决分数乘法的实际问题离不开计算，分数除法也要转化成分数乘法才能进行。本单元教材把分数乘法的意义与计算结合起来同步教学，一共编排7道例题，具体安排见下表：
例1分数与整数相乘，求几个相同分数的和
例2分数与整数相乘，求一个数的几分之几是多少
例3求一个数的几分之几是多少的实际问题
例4、例5分数乘分数，分数乘法的计算法则
例6三个分数连乘
例7倒数的知识
单元整理与练习
教材在编排上有以下特点。
第一，以计算法则的教学为编排主线，把运算的意义、方法以及实际应用的教学有机结合在一起，优化了全单元的内容结构。
乘法运算的范围从整、小数扩大到分数，其意义、算法以及实际应用都有较大的发展。因此，分数乘法的意义、计算法则、解决实际问题是本单元的三个重要内容。教材以计算为主线，在研究算法的过程中体会运算意义，通过运算概念的完善、发展，进一步理解算法；在解决实际问题的背景中教学计算知识，应用学到的算法解决实际问题。意义、法则、应用三方面的有机结合，优化了知识结构，能充分发挥教学的功能和价值。。
第二，知识发展线索清晰，前后联系紧密，各道例题的教学任务明确。先教学整数乘分数，后教学分数乘分数，符合简单到复杂的编排原则。而且，整数乘分数还能与整数乘法建立联系，应用整数乘法知识，为分数乘法的教学开好头。
整数乘分数先是求几个相同分数的和，再是求整数的几分之几是多少。前者在运算意义上与整数乘法一致，算法是例1的重点。正由于运算意义和整数乘法一致，可以把整数乘分数转化成同分母分数相同，体会并得出整数乘分数的计算法则。后者在运算意义上有很大的扩展，乘法不仅能求几个相同加数连加的和，还能求一个数的几分之几是多少，这是例2的教学重点。而例2的算法，在前面已经解决了。
分数乘分数先教学基础知识，再培养计算技能。例4和例5要把“求一个数的几分之几是多少”的认识迁移到分数乘分数，深入理解分数乘法的意义，还要解决分数乘分数的算法，并形成统摄分数乘整数、分数乘分数的计算法则。所以，这两道例题着重教学基础知识。例6教学分数连乘，巩固计算法则的同时，培养分子、分母交叉约分的技能。
第三，编排“倒数”知识，为分数除法作准备。
本次修订，进一步细化了重点、难点内容的认知线索，以便于教师更好的组织学生的探索活动。例如，简单的分数乘法实际问题的教学，提出问题后，教材首先要求学生“先涂色表示红花的朵数，再说说可以怎样计算”，引导学生在操作、思考与交流中理解10朵的1/2是多少，就是把10朵花平均分成2份，求其中的一份是多少，可以用10÷2算出结果，接着告诉学生“求10朵的1/2是多少，可以用乘法计算，”这样，既清晰提示了具体的学习方法，又为学生留出了适当的探索空间，有利于学生有序、有效地开展学习和探索活动，增强课堂教学的实效性。
教学建议
1.引导学生利用已有的乘法知识和经验，建构新运算的意义与算法。
例1的第（1）题通过涂色，体会数学问题是“求3个3/10是多少”，并在图上看到3朵绸花用的绸带是9/10米，从而激活已有的乘法概念以及同分母分数加法等知识。教材让学生探索分数乘整数的算法，把“分子相加、分母不变”加工成“分子与整数相乘、分母不变”，从而获得新的计算方法。学生在教材设计的方框里填数，经历了“分子相加”转化成“分子与整数相乘”的过程，也就实现了新的计算方法的主动建构。
例1的第（2）题求做5朵这样的绸花一共要用绸带几分之几米，不再从分数加法过渡到分数乘法，而是直接列出乘法算式，并用分数乘整数的方法计算。这是把第（1）题的学习成果作为第（2）题的教学资源，有利于学生进一步体验应用分数乘整数解决相同分数连加的问题比较简便，巩固运算的意义与算法。“萝卜”卡通先按“分子和整数相乘，分母不变”计算，再把积约分化简，代表了多数学生的算法。“白菜”卡通告诉学生“可以先约分，再计算”。教材写出“分子与整数相乘，分母不变”的式子以后，先把整数与分母约分，然后相乘求出积的分子，得到的结果是最简分数。学生计算分数加、减法，总是先按照法则计算，最后才化简结果。这种习惯会带进分数乘法的计算里。其实，在分数乘法里“先约分、再相乘”，是为了计算简便，容易得出最简分数的积。教学应指导学生理解并喜欢这样的算法，因为这对下面继续教学分数乘法十分重要。
“练一练”第1题，让学生在给定的长方形里涂色表示4个3/16，并计算4×3/16的积。把运算意义和计算方法有机结合，有加强概念和培养运算能力的作用。
例2着重教学用分数乘法求一个数的几分之几是多少，创设的问题情境是10朵绸花的1/2是几朵？10朵绸花的2/5是几朵？这些问题在三年级初步认识分数时曾经解决过。那时的解题是通过分实物的操作活动和10÷2、10÷5×2这些整数乘、除运算进行的。例2教学这些实际问题，目的是要应用分数乘法的知识进行解答，帮助学生形成“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”的认识，并且用来解决其他求一个数的几分之几是多少的问题。
在教学例2之前，乘法只用于求几个相同加数的和；在教学例2以后，乘法还可以求一个数的几分之几是多少。这是乘法概念十分重要的扩展，例2的教学重点就在这里。为了帮助学生理解乘法的新含义，教材编写注意了三点：一是联系分数的意义体会分数乘法的含义。教材把10朵花平均分成2份，其中1份是红花，对10朵花的1/2作出具体而形象的解释。一方面让学生在体会“10朵的1/2”的意义时想到10÷2这种算法，另一方面又利用10÷2促进对10的1/2的理解。类似地，教学10朵的2/5时，利用把10朵花平均分成5份，其中2份是绿花的实物图，以及10÷5×2的计算，帮助学生体会10的2/5的含义。二是直接介绍新知识。教材说“求10朵的1/2是多少，可以用乘法计算”，并且写出算式10×1/2。还说“求10朵的2/5是多少，也可以用乘法计算”，列出了算式10×2/5。在这两个实例的基础上，引导学生概括出“求一个数的几分之几是多少，可以用乘法计算”这个结论，扩展了原来的乘法概念，使乘法有了新的应用领域。三是加强比较，沟通新旧算法的联系，帮助学生理解分数乘法。“豆荚”卡通提出的问题“10×1/2和10÷2有什么联系？10×2/5和10÷5×2有什么联系？”引导学生体会10×1/2和10÷2都是求10的1/2是多少，都是把10平均分成2份，求其中的一份是多少。两个算式虽然运算不同，意义却是一致的。同样，算式10×2/5和10÷5×2都是把10平均分成5份，求这样的2份是多少，都可以理解为求10的2/5是多少，它们也是算式不同、意义相同。
2.沟通分数乘法和整数乘法之间的联系。
练习五第6～9题配合例2安排。第6题的各个问题，都能根据数量关系“1瓶饮料的毫升数×瓶数＝几瓶饮料的毫升数”列出算式，只是饮料瓶数有时是整数，有时是分数。当瓶数是整数时，求几个900毫升（1瓶饮料的净含量）是多少；当瓶数是分数时，求900毫升的几分之几是多少。这些内容既体现了分数乘法和整数乘法的不同，也反映了分数乘法与整数乘法有内在的一致性。应该在学生独立解题以后，组织他们比较几个问题的数量关系，解释列出的算式的意思，及时调整自己的认知结构。第9题通过“参加长跑的人数×有关的倍数或分数=参加相应项目的人数”，把求一个数的几倍是多少和求一个数的几分之几是多少组织在一道题里，也有许多可以比较异同的内容，应该挖掘和利用。
3.数形结合，关注数量关系，突破难点
例3继续教学一步计算的实际问题。因为“比一个数多（少）几分之几”是较难理解的数量关系，而这样的关系又普遍存在于现实生活的实际问题里，人们经常会碰到，所以单独编排一道例题教学。
解答例3的关键是理解红花比黄花“多1/10”、绿花比黄花“少2/5”的含义。求红花比黄花多多少朵、绿花比黄花少多少朵，虽然仍是一步计算的分数乘法问题，但数量关系比较难懂，这自然成为例题的教学重点。教材用条形图呈现三种颜色花的朵数，借助图的格子直观表达数量关系。表示黄花朵数的直条刚好是10格，表示红花朵数的直条比黄花多1格，形象地表达了“红花朵数比黄花多1/10”的含义。这个数量关系把黄花朵数作为单位“1”的数量，平均分成10份，红花比黄花多这样的1份。教材通过“玉米”卡通的提问，引导学生关注数量关系，明白红花比黄花多1/10的意思是“红花比黄花多黄花朵数的1/10”，或者解释为“红花比黄花多的朵数是黄花朵数的1/10”。从红花比黄花多50朵的1/10，得出求红花比黄花多多少朵就是求“50的1/10是多少”，从而列出算式50×1/10来解决问题。
绿花朵数比黄花少2/5的含义，既要在条形图里看出，也要仿照红花的朵数比黄花多1/10那样分析、推理得出。在条形图里，表示绿花朵数的直条比黄花的直条少4格，少的格数正好是黄花（10格）的2/5，这表明绿花比黄花少的朵数是黄花朵数的2/5。在绿花比黄花少2/5这句话里，黄花朵数是作为单位“1”的数量，平均分成5份，绿花少这样的2份，这表明绿花比黄花少的朵数是50朵的2/5。教材要求学生提炼出求绿花比黄花少多少朵的数学问题，根据“50的2/5是多少”列式计算。
练习五里的习题，十分重视引导学生理解一个数比另一个数多（少）几分之几的含义，因为这是分析数量关系的关键。第10题要求把一个数比另一个数多（少）几分之几的数量关系用数学式子表示，要求学生先说说各个分数的意义，再把数量关系式补充完整。如皮球的个数比足球多2/5，应该把足球个数看作单位“1”的数量，平均分成5份，皮球比足球多的个数相当于这样的2份。由此得出，皮球比足球多的个数是“足球个数×2/5”，数量关系式很自然地形成了。数量关系式可以视为一种数学模型。从解题角度看数量关系式，它有助于列出算式或方程；从思维角度看数量关系式，它精简了文字叙述数量关系的语言，压缩了思维过程；从教学的角度看数量关系式，它能加深对概念的理解，及时暴露认知的偏差。如果学生对比一个数多（少）几分之几的理解不正确，一定会在写的数量关系式上表现出来。仍然以皮球个数比足球多2/5为例，如果写出“足球个数×2/5＝皮球个数”则表明理解是错误的。解答第11～1/5题都要以正确的数量关系式为前提，教材编排这些问题的意图是很清楚的。
4.引导学生开展推理，探索计算法则，体会算法的合理性。
例4和例5教学分数乘法的计算法则，分数乘分数的计算方法并不复杂，学生记住和应用算法也不难。但是，理解为什么可以分子相乘作积的分子、分母相乘作积的分母，却很不容易。教材编排两道例题教学分数乘分数，充分发挥图形直观的作用，
学生在例4中首次接触分数乘分数，需要感知它的意义和算法。例题先在长方形纸上涂色表示它的1/2，再画斜线分别表示1/2的1/4和1/2的3/4，让学生在直观图上体会数量关系，明白1/2的1/4和1/2的3/4都把1/2作为单位“1”，把1/2平均分成4份，表示这样的1份和3份。在理解数量关系的基础上列出算式，感悟运算的含义，同时借助直观看出结果。例题依次安排三项教学活动：第一项活动是分别说出两个长方形里画斜线部分各占1/2（涂色部分）的几分之几，引出新的数量关系。学生能够看出每个长方形里都把1/2平均分成4份，斜线画了其中的1份和3份，得出这样的1份是1/2的1/4，这样的3份是1/2的3/4，发展了对一个数的几分之几的认识。第二项活动根据1/2的1/4、1/2的3/4列出相应的算式。例题要求每个长方形里画斜线部分各是这张纸的几分之几，数学问题分别是1/2的1/4是多少、1/2的3/4是多少。根据初步的分数乘法概念，从“求一个数的几分之几是多少，用分数乘法计算”推理得出1/2的1/4可以用1/2×1/4计算，1/2的3/4可以用1/2×3/4计算。学生在写两道乘法算式时，体会“一个数”不仅可以是整数，而且可以是分数，这就进一步完善了分数乘法的概念。第三项活动从图画里看出两道算式的积。因为1/2的1/4是长方形纸的1/8，1/2的3/4是长方形纸的38，所以1/2×1/4＝1/8、1/2×3/4＝3/8。在看图写出积的过程中，初步感知分子相乘的得数是积的分子，分母相乘的得数是积的分母。
例5继续研究分数乘分数的计算方法。教材直接给出两道算式2/3×1/5、2/3×4/5，还在两个长方形里涂色表示了2/3。第一项学习活动在长方形里画斜线，以得出两道算式的积。画斜线前应该先想乘法算式的意义。算式2/3×1/5是求2/3的1/5是多少，要把表示2/3的那个涂色部分平均分成5份，并用斜线画出其中的1份。这1份刚好占长方形的2/15，所以2/15就是2/3×1/5的积。类似地，2/3×4/5是求2/3的4/5是多少，要把表示2/3的涂色部分平均分成5份，用斜线画出其中的4份，由此得到2/3×4/5的积是8/15。第二项活动要求在教材里写出两道乘法算式的积，感受积的分子是两个乘数分子的乘积，积的分母是两个乘数分母的乘积。
例4和例5都是教学分数乘分数的计算，它们的教学线索不同，学生的认知程度也不同。学生在例4中经历“看图——写式——求积”的过程，感受“分子相乘、分母相乘”的可能性；在例5中通过“看式——画图——求积”体验“分子相乘、分母相乘”的合理性。两道例题都让学生感受分数乘分数的算法，有助于他们形成计算法则。
为了得出分数乘分数的计算法则，教材安排学生回顾例4、例5里的四道乘法算式以及相应的积，体会它们的共同特点：都是分数乘分数的乘法；两个乘数分子相乘的积刚好是积的分子，两个乘数分母相乘的积刚好是积的分母。于是归纳出分数乘分数的一般算法“用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母”。
“练一练”是在得出了分数乘法计算法则以后进行的，但教材不希望学生用法则计算，而是要求他们结合图形直观，再次体会分数乘分数的意义与算法。例如，左图里的涂色部分是长方形的1/3，画斜线部分是涂色部分的1/4。求画斜线部分占长方形的几分之几，就是求1/3的1/4是多少。图形下面算式1/3×1/4的意义，可以理解为“求1/3的1/4是多少”，和画斜线部分的图意完全一致。在图形里能够看到，1/3的1/4是1/12，按法则计算1/3×1/4的得数也是1/12，这就又一次验证了计算法则的正确性。
5．掌握分数连乘的算法与技巧，培养运算能力
例6主要教学分数连乘的算法以及交叉约分的技巧。教学分两段进行：先通过解决实际问题，引出分数连乘的算式；再示范分数连乘计算时的交叉约分，教学连乘的算法。例6用线段图表示数量关系，整理解题思路。先画一条线段表示一班做的绸花朵数，由于二班做的朵数是一班的8/9，所以把表示一班朵数的线段平均分成9份，便于画出表示二班朵数的线段。教材要求学生画表示三班做花的朵数，画的时候要分析“3”/4的意思，理解这里是把二班做的朵数看作单位“1”。通过画图就能很快知道应先算二班做的朵数。
例题先分步列式解答，再列综合式解答。教学要以综合算式为主，因为在综合算式里要讲分数连乘的算法。关于分数连乘计算有两点内容：一是各个乘数的分子连乘的得数是积的分子，各个乘数的分母连乘的得数是积的分母。二是要尽量先约分，再相乘。就是说，要把分子、分母之间能够进行的约分都完成以后，相乘就简单了。两点内容学生都能接受，先充分地约分可能会不大适应。教学不必在为什么这样约分上纠缠，学生有计算结果应是最简分数的认识，能够理解计算过程中要尽可能地约分。教学要清楚地展示约分活动，如整数135和分母9之间的约分，分子8和分母4的约分。在“练一练”里还要指导不相邻的分子与分母的约分，如22/27×5/11×9/10中的分母27和分子9的约分，帮助学生逐渐掌握约分的技巧。
6. 重视概念的形成以及对概念的准确把握。
例7教学倒数的知识，为下单元的分数除法作准备。倒数的知识主要是两点： 一点是倒数的概念，另一点是求倒数的方法。前一点是基础知识，后一点是计算分数除法所需要的基本技能。建立倒数概念之后，求一个数的倒数就容易了。
分数除法
本单元在分数的意义和分数乘法的基础上编排，重点教学分数除法的知识。包括分数除法的计算法则；已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题；“比”的意义、性质，按比例分配等内容。本单元一共编排11道例题，具体安排见下表：
例1分数除以整数
例2、例3整数除以分数
例4分数除以分数
例5已知一个数的几分之几是多少，求这个数的实际问题
例6分数连除、分数乘除混合运算
例7、例8比的意义、比和除法的关系
例9比的基本性质
例10化简比
例11按比例分配的实际问题
单元整理与练习
从编排来看第一，计算内容编排成两段： 一是计算法则，二是乘除两步计算。两段之间穿插解决实际问题，留出了巩固法则、形成计算能力的时空。
第二，计算法则的教学编排细致，从分数除以整数到整数除以分数，再到分数除以分数，最后才形成包摄性强的法则。分数除法是转化成分数乘法计算的，转化的方法是乘除数的倒数，例1至例4都教学这样的转化。前两道例题在操作中开展形象思维，体会转化是合理的；后两道例题通过猜想与验证，理解转化是必然的。这样的编排循序渐进，使法则的教学不是被动接受，而是主动建构；不仅是形成知识技能，还是发展数学思考、培养解决问题策略的载体。
第三、在分数除法里教学比的知识，是本单元教材的又一个亮点。（把分数除法和比合并成一个单元）小学数学把两个数的比看作这两个数相除。显然，在教学除法时可以安排比的教学。比与除法有关，除法与分数有关，那么比与分数应该也有联系。数学教学专家认为，分数和比的融合能够加强对分数的认识，从分数联想它能反映的比，丰富了分数的含义，扩展了解决分数问题的思路和途径。比的基本性质和分数基本性质很相似，利用分数性质可以约分或通分，利用比的性质可以化简比，其中的内在联系以及技能的相互对应，能够优化学生的认知结构，提高他们学习能力。
第四，改进传统分数除法应用题的教学，也是本单元教材的亮点。联系分数乘法的意义，分析“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的实际问题的数量关系，很容易列方程解答。这就不再把分数乘法问题与分数除法问题作为两类完全不同的问题去识别，而是突出它们最本质的数量关系，作为同一数量关系的两种不同情况，分别列算式和列方程解答。这也就充分利用了数学的基础知识与基本方法，能够有效减轻学生的学习负担。
教学建议
1.在图画上平均分，从操作中感悟算法
分数除以整数、整数除以分数，是分数除法中比较简单的两种情况。教材希望学生初步体会，分数除法可以通过被除数乘除数的倒数进行计算。为了有利于学生获得这种体会，例1到例3都选择可以操作的素材。
例1用图画呈现4/5升果汁，让学生在图上把它平均分成2份，并算出结果。一部分学生在操作中看到4/5平均分成2份，每份是2/5，列出算式4/5÷2＝2/5。“蘑菇”卡通的思考代表了这部分学生的想法，它的“把4个1/5平均分成2份”清楚地解释了4/5÷2的意思。另一部分学生在直观情境的支持下，得出把4/5平均分成2份，每份是4/5的1/2。“辣椒”卡通把这样的思考用式子的变换表示出来，就是4/5÷2＝4/5×1/2。显然，前一种算法与分数除法的计算法则有距离，后一种算法才是分数除法的一般算法。教学例1，要在学生独立探索的前提下，突出“辣椒”的算法。这是他们第一次感悟分数除法与分数乘法的联系，对本单元教学分数除法计算有定向作用。
接着例1的“试一试”计算4/5÷3。从表面上看，似乎只是把除数“2”变成“3”，其实它的计算里有很丰富的教学内容。如果采用上面提到的“蘑菇”卡通的算法，由于商的分子不是整数，无论是表示还是化简都很麻烦。如果采用4/5×1/3这种方法，能够很快得到结果。挖掘“试一试”的教学内容，要注意三点：一是让学生经历选择算法的过程，在具体的计算实践中体会例1的两种算法，只有一种适用“试一试”的题。二是让学生完成教材安排的填空，再次经历分数除以整数转化成分数乘分数的过程，并作出对转化的解释，更清楚地懂得把4/5平均分成3份，就是求4/5的1/3。三是让学生说说分数除以整数可以怎样计算，以进一步加强转化意识与方法。
例2教学整数除以分数。这里的除数都是1/2、1/3、1/4等分子都是1的分数。选择这样的除数，是为了便于通过操作解决问题，感受整数除以分数的计算方法。
这道例题的教学大致分三步进行：第一步是列出整数除以分数的算式。第二步是看图计算4÷1/2，初步感悟算法。由于每人分1/2个，因此教材把4个橙子按1/2个、1/2个……地画，一共画了8个1/2。一部分学生会像“番茄”卡通那样，从图画里看到可以分给8人，于是写出除法算式的商，即4÷1/2＝8（人）。另一部分学生会像“萝卜”卡通那样，从1个橙子分给2人，得出4个橙子可以分给4×2＝8（人）。教学不能因得到问题的答案而停止，而要继续研究4÷1/2的算法。由于4÷1/2和4×2都是求4个橙子可以分给几人，得数都是8，所以它们能组成等式4÷1/2＝4×2。教材要求学生想一想“1/2和2有什么关系”，引导他们观察等式，研究等式从左边到右边的变化，初步发现整数除以分数可以变成这个整数乘分数的倒数。得到等式并看到变化是这一步教学的主要任务，一定要让学生明白等式是怎样得到的，以及等式所蕴含的数学内容。第三步通过画图操作，计算4÷1/3和4÷1/4。通过操作找出等式，思考“括号里的数与除数有什么关系”，引导他们继续关注分数除法改写成分数乘法的要领。
2.验证猜想——确认算法。
例3仍然是整数除以分数。不过它的除数不是几分之一那样的分数，而是几分之几的分数。如果说例2是整数除以分数的特殊情况，那么例3涉及整数除以分数的一般情况了。例4是分数除以分数。它的计算方法能够统摄前面教学的分数除以整数和整数除以分数，因而更加具有概括性。教材编排例3和例4，目的是要得出分数除法的计算法则。
例3和例4所设计的学习方式与例1和例2不同。例1和例2让学生在平均分物体的活动中感受分数除法可以转化成分数乘法，例3和例4让学生猜想并验证分数除法可以通过分数乘法来计算。例3和例4的编写有以下一些共同的特点：第一，两道例题都有示意图，在图上能够得到实际问题的结果，也就是能够直观看出除法算式的商是多少。例3用一根直条表示4米彩带，其中每1米都平均分成3份，还涂色表示出1个2/3米。学生可以在表示4米的直条上数出一共有6个2/3米，于是得到4÷2/3＝6（段）。例4画出了量杯的示意图。看着杯子上的刻度，能够知道9/10里面有3个3/10，也就是9/10÷3/10＝3。第二，两道例题都要验证分数除法可以转化成分数乘法。学生通过例1和例2的学习，知道分数除以整数以及整数除以几分之一，可以通过相应的分数乘法进行计算。他们遇到整数除以分数和分数除以分数这些新的计算，会很自然地想到也用分数乘法来解决。但是，这种想法是不是正确，还需要验证和确认。例3要求学生想一想：等式4÷2/3＝4×3/2成立吗？其中左边除法式子的商在直条图上已经看到，是6；右边乘法式子的积可以通过计算得到，也是6。这就证明了等式是成立的。教学例4，学生对分数除法转化成分数乘法的心向已经相当强烈，一边在示意图里看出9/10÷3/10的商，一边让他们按照9/10÷3/10＝9/10×（ ）/（ ）这样的线索填一填、算一算，于是得到与示意图相同的结果，从而确认分数除法转化成分数乘法的猜想成立。第三，两道例题都小结算法。例3安排学生比较4÷1/2、4÷1/3、4÷1/4以及4÷2/3这些除法转化成乘法的等式，在小组里交流整数除以分数的计算方法，体会分数除法变成乘法，应该用被除数乘除数的倒数。例4总结算法的视野比较开阔，不只是分数除以分数，还要联系前面学习的分数除以整数、整数除以分数，找到所有分数除法在计算时的共同策略和相同的转化方法。然后用甲数和乙数分别表示被除数和除数，用“等于甲数乘乙数的倒数”准确而简明地表达了分数除法转化成分数乘法的要领，即分数除法的计算法则。
第10题的五道分数除法算式，有些题的商比被除数小，有些题的商比被除数大，有些题的商与被除数相等。教材希望学生发现：除数大于1，商小于被除数；除数等于1，商等于被除数；除数小于1，商大于被除数。这些规律与分数乘法里的规律刚好相反。分数乘法中，一个乘数大于1，积大于另一个乘数；一个乘数等于1，积等于另一个乘数；一个乘数小于1，积小于另一个乘数。第11题要求学生应用上述规律，不经过计算，直接判断乘法算式或除法算式的大小。如4/7×1/3○4/7和4/7÷1/3○4/7等。这些判断有助于学生发展数感。
3.找数量关系式——列方程解题的关键。
在教学分数除法的计算法则以后，教材编排例5解答传统的分数除法实际问题。但是，解题方法不是过去的列除法算式，而是通过列方程和解方程得到问题的答案。
列方程解答分数除法问题的最大好处是，不把它与分数乘法问题对立起来。解题所依靠的不是辨类型、识题型，而是基础的数学知识和基本的数学思想。本单元解决传统分数除法问题的思想方法，还会影响以后解决百分数除法问题。
例5的教学重点是为什么用方程解答，以及怎样列出方程。学生体会了列方程解题的原因，就掌握了这类实际问题的结构特点；学会了列方程的方法，就把握了数量关系和解题关键。
分析数量关系是解决实际问题十分重要的一个步骤。无论是分数乘法问题还是除法问题，都要抓住分数的意义进行分析。例题通过“白菜”卡通提出的问题“大瓶和小瓶的果汁量有什么关系”，引导学生仔细体会“小瓶里的果汁是大瓶的2/3”的含义。联系“求一个数的几分之几是多少，用乘法计算”的经验，写出数量关系式。在“大瓶的果汁量×2/3＝小瓶的果汁量”中，小瓶的果汁量已知，求大瓶的果汁量，显然可以列方程解答。理解这段教材，要注意“列方程解答”是分析数量关系的结果，是通过在相等关系上落实已知与未知而作出的决策。教学要细致地展开“分析数量关系——得出相等关系——选择解题方法”的过程，让学生知道应该怎样想，学会这样的思考。
“试一试”和练习八第2题，都要求学生“先把数量关系补充完整，再解答”。在教学列方程解决实际问题的起始阶段，提出这样的要求是很必要的。能进一步突出解决实际问题要分析数量关系，帮助学生掌握分析数量关系的方法，体会列方程解答的实际问题的特点。其实，解决实际问题都要分析数量关系，包括练习八里的其他实际问题。教材希望学生掌握思考的方法与要领之后，自觉地把数量关系式想在头脑里，自主开展分析数量关系的活动。
练习八里还安排了一些对比练习和综合应用。 “对比”既要比出不同，准确区分它们；也要比出相同，在本质上把它们有机联系起来。分数乘法问题和除法问题，相同在数量关系式上，即都要抓住分数的意义分析数量关系，都能表示成相似的数量关系式，而且同一题组两道题的数量关系式相同。不同表现在数量关系式的已知与所求的数量上，分数乘法问题的已知条件一般都在数量关系式的一边，所求问题在数量关系式的另一边，根据数量关系式能够列出算式。分数除法问题的已知条件不集中在数量关系式的某一边，而是分布在两边，要求的问题也不单独在数量关系式的某一边，所以列方程解答比较方便。第8题有两小题：第（1）题是冬冬家买一袋面粉，重15千克。吃了3/5，吃了多少千克？第（2）题是冬冬家买来一袋面粉，吃了3/5，正好是9千克。原来这袋面粉重多少千克？数量关系可以像下面这样分析：
一袋面粉的质量×3/5＝吃了的质量 ——两题共同的数量关系式
15千克 ？千克 算式1/5×3/5
？千克 9千克 方程3/5x=9
数学教学应该区分不同的问题。但是，过去把分数乘法问题与除法问题对立起来，过分强调区别，往往收不到期望的效果。本单元在数量关系上求同存异，合理组织两类问题的知识结构，用对立统一的观点处理两类问题的关系，已经在教学实践中得到广大教师的认同。
4.巩固分数除法法则，培养计算能力
学生初步掌握分数除法计算法则以后，计算分数连除法和分数乘除混合运算，一般要转化成分数连乘法才能进行。转化时，要正确使用分数除法法则；转化后，要灵活使用分数乘法的技巧。教材编排分数乘除混合运算的教学，能够进一步巩固分数除法的计算法则，提高学生进行分数乘除运算的能力。
5.联系实际事例，通过说、写、认等活动，教学比的意义及相关的知识
在用比表示两个具体数量的关系时，一般有两种情况： 一种是表示两个同类数量间的倍数关系，另一种是表示两个不同类的数量间的关系。教材编排两道例题，分别教学这两种情况，然后概括出比的意义。
例7图文结合，呈现了2杯果汁和3杯牛奶，问学生“可以怎样表示两个数量之间的关系”。这是一个比较开放的问题，学生一般会从两个数量“差”和“倍”的角度上思考。教材只呈现“果汁的杯数相当于牛奶的2/3”和“牛奶的杯数相当于果汁的3/2”，因为这些都是新知识的生长点。其实，也在提醒课堂教学不要滞留于相差关系上。
由果汁的杯数相当于牛奶的2/3，引出果汁与牛奶杯数的比是2比3；由牛奶的杯数相当于果汁的3/2，引出牛奶与果汁杯数的比是3比2。结合这两个比，讲了比的表示方法（写法与读法）以及各部分名称。教学如果联系2/3是2÷3的结果，3/2是3÷2的商，学生就能初步感受比与分数有关，分数与除法有关，因此比与除法有联系。如果结合2杯、3杯这些具体数量来体会2∶3和3∶2，比较它们的相同与不同，对比的认识就能深刻一些，写出比也方便一些。
例8给出小军和小伟走900米山路各用的时间，让学生分别计算两人的速度，引起对“路程÷时间＝速度”的回忆。让学生感受两个不同类数量之间的除法关系也可以用比表示。教材不希望学生被动且肤浅地接受例题写出的两个比。教学应该突出路程和时间的比，是根据路程除以时间写出来的，是路程除以时间的意思，比的结果是速度。
在两道例题的感知基础上，“白菜”卡通要求学生思考“例7和例8中，两个数相除的关系可以怎样表示？”通过除法写成比，体验两个数相除与这两个数相比的实质性联系。从而理解比的意义，形成“两个数相除又叫作两个数的比”的概念。
学生理解了比的意义，就会很自然地把比的前项除以后项，接受并理解比值的含义。教材指出比值是比的前项除以后项的商，要求学生说出例7和例8中各个比的比值，不仅内化关于比值的知识，还又一次感受了比的意义。
例8要求学生把3∶5依次改写成除法式子和分数。沟通比、除法、分数三者之间的联系， 比、除法、分数的相互关系重在理解，是必须掌握的基础知识，要通过改写来体会和掌握。至于比、除法与分数的不同，在改写中也能有所感受，不必刻意去区别。
既然比和分数有联系，比能改写成分数，因此两个数的比可以写成分数的形式。教材以2∶3为例，指出这个比也可以写成2/3，强调写成的仍然是比，仍然读作2比3。把比写成分数的形式，有利于比和分数的相互转化。在需要时，可以把比看成分数，或者把分数看成比，从而活跃思维，这在后面解决实际问题时会有很好的应用。
6. 把比值相等的比组成等式，发现比的基本性质，并利用性质化简比
教材改变了比的基本性质教学内容的呈现方式，不再由现实情景引入，而是安排了两条认识比的性质的活动线索。一条是让学生分别求出4∶5、16∶20、50∶50、40∶50四个比的比值，并把比值相等的3个比写成连等式4∶5=16∶20=40∶50，在连等式上看到比的前项与后项变化，而比值不变的现象。另一条是联系分数基本性质，想想比会有什么性质。前一条以归纳推理为主，后一条以类比推理为主。教材把两条线索恰到好处地结合使用，既让学生在实际例子中看到比的性质的现象，又让他们把比的性质纳入自己已有的知识结构里，能够提高新知识的教学效率与效益。教材里写出的比的基本性质，应该是学生的发现、理解与表述。
例10教学化简比。三个小题分别化简整数组成的比、分数组成的比和小数组成的比。用虚线框突出化简各个比的关键步骤，并且分别提出“为什么同时除以（或乘）这个数”的问题，引导学生理解化简比的思路与要领。化简前、后项都是整数的比，一般把比的前项与后项同时除以它们的最大公因数，能够较快地得到最简单的整数比。
7.运用转化策略解答按比例分配的实际问题
按比例分配问题是把一个数量按照一定的比分成若干部分，求各部分分别是多少的问题。让学生解答一些常见的、较简单的按比例分配问题，能使他们在实际应用中加强比的概念。
例11要求把30个方格分别涂红色和黄色，创设了按3∶2分配总格数的问题情境。解答按比例分配问题往往可以采用不同的思路与方法，教材呈现的两种解法是多数学生能够想到的方法，都是从3∶2的具体含义出发，经过推理形成的解题思路。教学这道例题还要注意五点：一是让学生体会各种思路都是应用转化策略解决问题，各种解法都是根据比的意义想到的。二是让学生在教材的方格图上，适当进行涂颜色活动，感悟解决问题的方法。如果每次涂5个方格，其中3个红色方格、2个黄色方格，需要6次（30÷5＝6）刚好涂完。所以红色方格一共有30÷5×3＝18（格），黄色方格一共有30÷5×2＝1/2（格）。如果把方格图里的3行涂红色、2行涂黄色，就能直观感受红色方格是30格的3/5、黄色方格是30格的2/5，所以两种颜色的方格数可以用分数乘法计算。三是两个卡通的解法似乎完全不同，其实是相通的。30÷5×3相当于求30的3/5是多少，30÷5×2相当于求30的2/5是多少。反之，求30的3/5(或2/5)是多少，可以理解为把30平均分成5份，求这样的3份（或2份）是多少，即计算30÷5×3（30÷5×2）的得数。四是要鼓励学生像“番茄”卡通那样解决按比例分配问题，达到通过比的学习与应用，加强分数概念的目的。五是只要学生用一种方法求出红色方格和黄色方格的个数，至于用哪一种方法由他们自主选择，但要提醒他们检验结果。检验也有多种方法可以选用，如求得的红色方格个数是不是占方格总数的3/5、黄色方格是不是占方格总数的2/5；又如求得的红色方格个数与黄色方格个数的比是不是3∶2……每一名学生只要用一种方法检验，并在相互交流中体验检验方法的多样性。
“想一想”里出现了1∶2∶3，这是一个连比。对连比不需要作过多的解释，学生会联系两个数的比来体会连比的含义，能说出红色方格占1份、黄色方格占2份、绿色方格占3份，并且联系解答例11的经验，分别算出三种颜色的方格个数。
按比例分配问题的特点是有一个确定的比，总数必须按这个比分成若干部分，而比的呈现形式却是多样的。“试一试”(原来是练习第3题)要求把72棵树分给3个小组，没有直接给出分配的比，而是给出各组的人数。要理解“按每组人数分配”的含义，从已知的三个小组人数，先得出分配给三个小组的棵数比，再把72棵树按比例分配。练习十第3题用扇形图给出比，圆里的蓝色部分表示足球比赛已经进行的时间，空白部分表示比赛剩余的时间，可以看出蓝色部分和空白部分的面积比大约是1∶2，由此得到已经用去的时间和剩下时间的比大约是1∶2。第8题配置混凝土所用的水泥、黄沙、石子的份数通过条形图表示。题目首先问“三种材料是按怎样的比配置的”，引导学生观察条形图，从中找到把混凝土质量分配的比。用多种形式表示比，不会给解题增加难度，反而能激发学生解决问题的兴趣，培养收集数学信息的能力。
练习十第4题要求根据一个已知的比，联想有关的分数。不止想出一个，而是要想出两个或几个分数。这道题一方面培养转化能力，锻炼发散思维。另一方面为解答第6、7两题作思路铺垫。第6题已知药粉和水的比是1∶40，由此能够得出药粉的质量是水的1/40，水的质量是药粉的40倍。这两个倍数关系分别可以求400克药粉需加多少克水、400克水中应加多少克药粉。第7题从玫瑰花和月季花棵数比是3∶5，可以想到玫瑰花棵数是月季花的3/5，月季花棵数是玫瑰花的5/3，玫瑰花占两种花总数的3/8，月季花占两种花总数的5/8。利用这些倍数关系能够提出和解决许多问题，包括教材已经提出的两个问题。
通过整理与练习完善认知结构，提高解决实际问题的能力
本单元是一个较大的单元，教学的新知识多，知识的应用广，安排全单元内容的整理与练习十分必要。
1. 提出三个讨论题，整理基础知识。
第一个问题是“怎样计算分数除法？” 第二个问题是“举例说明比的意义和比的基本性质，以及比、分数、除法之间的联系和区别。”这是沟通知识之间关系，建立良好认知结构的问题。第三个问题是“解决分数、比的实际问题时，应怎样分析数量关系？”教材希望通过第三个问题的讨论，联系具体例子，让学生再一次体验解决问题的思想方法，既能识别和区分各种不同的问题，又能在较高的认识层面上，把握本质的思考方法。
2. 编排十三道练习题，讲究练习效益和质量。
“练习与应用”里的题目，按培养计算能力、巩固深化概念、灵活解决问题的目标编排。第1、2两题着重计算，第3~6题着重巩固概念。第7~1/3题着重解决实际问题。第8题可以根据“工作总量（一共做的事情）÷工作时间=工作效率（1小时、1分钟所做的事情）”“工作效率×工作时间=工作总量”“工作总量÷工作效率=工作时间”来列式计算。学生在整数、小数范围内曾经多次接触过这些数量关系，那时的工作时间一般都大于1小时、1分钟，工作总量都大于工作效率，所以理解数量关系比较容易。在分数范围内，工作时间会少于1小时、1分钟，如2/3小时；工作总量会小于工作效率，如每小时织毯子2/5米，2/3小时织4/15米。因此，学生在分数范围内理解这些数量关系会有困难。教学应注意到这一点，要帮助他们把曾经认识的数量关系，发展到新的领域。
3. 编排四道题，让学生进行探索与实践。
第15题要通过计算几种水果的单价，回答教材提出的问题。小明、小华和小军各用4元买一种水果，小明买的水果重4/5千克，问他买的是什么水果。通常的解法是“总价÷数量=单价”，根据算出的单价，看看小明买的是哪一种水果。这个问题还有其他解法：小明买的水果不满1千克，表明他买的水果单价比4元贵，可能是葡萄或苹果，不可能是梨、西瓜或香蕉。葡萄单价6元，4元能买2/3千克；苹果单价5元，4元能买4/5千克。所以，问题的答案是小明买了苹果。这种解法似乎没有前一种解法“干脆”，却富有探索的意味，发挥了数感对解题的作用。类似地，小明买的水果是小华所买水果的2/5，是小军所买水果的3/5，问小华、小军各买了什么水果。除了“常规”的解法，还有别的方法，而别的方法更具有探索性。教材把这道题编排在“探索与实践”栏目，希望给其他解法一席之地，鼓励学生富有个性地进行思考。
第16题第（1）题要求画面积是24平方厘米，长与宽的比是3∶2的长方形。需要算出长方形的长与宽各是多少厘米。可以采用“枚举”策略，列出面积是24平方厘米的长方形的长和宽的各种可能，看看哪一个是3∶2。第（2）题要求画周长是16厘米，长与宽的比是5∶3的长方形，也需要先算出长方形的长与宽各是多少厘米。可以采用“按比例分配”的方法解决。为什么前一个问题采用“枚举”策略，后一个问题采用“按比例分配”？学生需要给出适当的解释。而这正体现2了教材预设的探索空间。
解决问题策略
本单元主要教学用假设的策略解决问题.教材本着突出策略的学习价值,适当降低难度的原则,精选一些简单的求两个未知量的实际问题，引导学生经历通过假设把复杂问题转化成简单问题的过程，进一步积累分析数量关系的经验，提高分析和解决问题的能力。全单元编排两道例题，具体安排见下表：
编排例1通过解决实际问题初步体验“假设——替换”策略
例2应用“假设——替换”策略解决实际问题
从表格里可以看到，教学假设与替换策略和教学其他策略一样，也是分成两步进行的。第一步先让学生初步认识策略，感悟策略的思想与方法，体会策略有利于解决问题，对学习的策略产生积极的情感态度。第二步让学生尝试着应用策略，在解决问题的活动中，进一步体验策略，逐渐学会使用策略，感受策略的价值，加强策略意识。教学时，一要通过现实问题引发学生寻求解决问题新方法的愿望；二要引导学生经历把复杂问题转化成简单问题的过程，体验等量代换的思想方法；三要强调直观图在学生分析数量关系过程中的辅助作用。
1.精心选择了《解决问题的策略》的教学内容，原来实验教材的例2（鸡兔同笼）的数量关系比较复杂，与例1相比难度较大，本次修订删去了例2，选择与例1结构相似，思考方法相近的问题作为例题。既降低了教学内容的难度，又有利于培养学生举一反三，触类旁通的能力。
2.在梳理数量关系的过程中引发假设与替换的想法和做法
教材的两道例题，呈现问题后，都没有作过多的讲解和引导，而是启发学生根据题意对数量关系进行梳理。例1图文结合，讲述了960毫升果汁正好倒满6个小杯和2个大杯，还指出小杯的容量是大杯的1/3，要求小杯和大杯的容量各是多少毫升。学生阅读文字叙述的例1，未必能采用适当的形式整理已知与未知之间的联系。他们虽然能够理解题意，却很可能抓不住核心的数量关系，形不成有效的解题思路。为此，教材提出问题“怎样理解题中数量之间的关系？”引导他们关注“6个小杯和2个大杯的容量一共960毫升”“小杯的容量是大杯的1/3”，并且想到“3个小杯的容量和1个大杯的容量相等”“1个大杯相当于3个小杯”“3个小杯相当于1个大杯”，等等。这些数量关系将为接着的解题活动奠定基础。例2需要突出实际问题里的两个基本数量关系，即2个大盒里球的个数+5个小盒里球的个数=100；1个大盒里球的个数-8=1个小盒里球的个数、1个小盒里球的个数+8=1个大盒里球的个数。这些数量关系式是对两个已知条件的理解，有助于形成假设与替换的思路。
3.在比较和交流的过程中获得对假设策略的深刻体验。
明确了思考问题的方向，教材继续把学习的主动权交给学生，引导学生独立思考解决问题的方法，同时组织他们对同一问题的不同解法，或不同问题的相同思考方法进行比较，获得对假设策略的深刻体验。例1在理解题意和分析数量关系的基础上，教材鼓励他们交流自己的想法，并选择一种方法解题。如，有些学生在直观的图画情境里会想到，如果把果汁全部倒在小杯里，问题就好解决了。于是产生把1个大杯换成3个小杯的想法，使960毫升果汁倒在12个小杯里，先求小杯容量，再求大杯容量都不困难了。又如，有些学生会设1个小杯的容量为x毫升，那么6个小杯的容量是6x毫升，1个大杯的容量为3x毫升，2个大杯的容量为6x毫升，于是想到列方程解题。教学应注意教材的两点意图：一是不要过早勉强学生采用“假设与替换”策略解题，已经想到这种方法的学生可以像这样解题，暂时没有想到的学生，应该用自己想到的方法解题。二是通过组织学生交流各种解法，在交流中充分关注“假设与替换”这种解法，理解如何假设、为什么这样假设，为什么替换、如何替换。明白把果汁倒入大小不同的杯子想象成倒入同样的杯子，就是假设。为了解决问题，在假设的基础上还需要进行必要的替换，把1个大杯换成3个小杯、2个大杯换成6个小杯就是替换。
假设把960毫升果汁全部倒入大杯，用大杯替换小杯，先算出1个大杯的容量，再计算1个小杯的容量。要求全体学生都根据这样的假设算出结果。这一步让原来就采用“假设与替换”方法解答的学生再经历一次“假设——替换”的过程，让原来用其他方法解题的学生，尝试着用“假设——替换”的方法解题，体会这种思想方法。因为这种方法是例题所教学的方法，属于全单元的教学内容。教学应该注意两点：一是学生列式计算时，应该把假设与替换的方法尽量用算式表示出来。部分学生可能会列算式960÷4＝240（毫升），算出1个大杯的容量；列算式960÷12＝80（毫升），计算1个小杯的容量。这两个算式虽然正确，但不够完美。要指导学生在这两个算式的前面，先写出求大杯个数的式子6÷3+2＝4（个），或求小杯个数的式子6+3×2＝12（个），把自己进行的替换表示出来。二是要检验结果，确认结果正确之后再写出答句。这是解决问题的基本程序之一，更是严谨的态度与良好的习惯。尤其在采用新的方法解决新颖问题时，更需要及时检验，以确认解题方法与结果的合理性。检验这道题的结果，要抓住“果汁总量是960毫升”和“小杯的容量是大杯的1/3”这两点进行。只有同时满足这两个关系的结果才是正确答案。
学习例2时，可以用两种假设解题。可以先假设7个全是小盒，用小盒替换大盒；再假设7个全是大盒，用大盒替换小盒。让学生在两种方法解题的过程中体会怎样用大盒替换小盒，怎样用小盒替换大盒，并利用两种解法检验解题结果是否正确。同时处理好替换难点。无论用大盒替换小盒，还是用小盒替换大盒，都是“一对一”的替换。即用2个大盒替换成2个小盒，或用5个小盒替换成5个大盒。像这样的替换会引起球的总个数的变化，这就构成了思维的难点。所以，教材在假设7个全是小盒以后，提醒学生注意“球的总数会发生什么变化？”帮助他们认识到，用小盒替换大盒，盒子里球的总数会减少。2个小盒替换2个大盒，球的总数减少8×2=16（个）。同样，在假设7个全是大盒以后，要提醒学生思考“球的总数又会怎样变化？”帮助他们认识到，用大盒替换小盒，盒子里球的总数会增多。5个大盒替换5个小盒，球的总数增加8×5=40（个）。
应该承认，学生已有的经验结构中存在假设与替换的元素，不过这种存在是潜在的，往往是无意识地显示和使用。教学的任务是把沉睡的思想唤醒，把潜在的方法激活，不仅解决实际问题，而且让学生体会问题解法里的数学思想，从而使之成为以后解决问题可以利用的资源。这是例题的教学思路，也是策略教学的基本线索。
4.在回忆既有经验的过程中丰富对假设策略的认识。
这里的回顾分两个层次进行：一是回顾例题的解题过程，反思自己是怎样假设的，原来的问题通过假设变成怎样的问题，假设在解决这道例题时起了什么作用，初步体会假设是解决问题的一种策略。还要让学生在两道例题的解答中，体验假设与替换的思想和操作方法，感受两题的假设哪些地方是一致的，哪些地方不一样，从而获得像“辣椒”卡通所说的经验。二是回顾以前的数学学习中曾经运用假设策略解决过哪些问题，引导学生回忆这些既有的经验，既是经验与认识的提升，又可以丰富学生对策略的体验，感受假设策略在解决问题过程中的作用。学生可能很难想到这些，老师可以举几个例子，再让学生举例，要让学生切实明白过程。
练习十一第5题，用线段图给出数量关系：苹果树、桃树、梨树一共260棵；桃树比苹果树多20棵，梨树比苹果树多30棵。求三种树各有多少棵。教材要求“假设桃树、梨树都与苹果树同样多”，并引导学生思考这样假设会使三种树的总棵数发生怎样的变化。当然，把各种树假设为与桃树同样多，或者假设为与梨树同样多，也可以解题，不过解题过程会比较麻烦。因为这些假设引起的三种树总棵数的变化较难把握，也较难计算。所以，教学不要提倡学生采用另两种假设方法，但可适当体会那些假设方法解题不大容易。第12题在第5题基础上编排，与第5题相当接近。只是要求学生先用线段图表示数量关系，再自己选择适当的假设与替换方法，并独立解决问题。
分数四则混合运算
本单元在分数四则计算和简单应用的基础上，主要教学分数四则混合运算和稍复杂的求一个数的几分之几是多少的实际问题。这部分内容是五年级教学的分数知识的综合、提高和总结，对掌握和应用分数知识有很大的影响。在内容的编排上有以下几个特点。
第一，教学计算，例题的内容容量很大。例1教学分数四则混合运算，包括按运算顺序计算和应用运算律简便计算。在这道例题中，既要把整数四则混合运算的运算顺序迁移过来，还要理解整数的运算律在分数中同样适用。把按运算顺序计算和应用运算律简便计算有机结合起来，把口算和笔算结合起来，组建四则混合运算的认知结构，有益于理解和掌握计算知识，有选择地使用运算知识，形成实实在在的计算能力。
第二，教学解决实际问题，例题的编排细致。本单元解答稍复杂的求一个数的几分之几是多少的实际问题，一般列综合式计算。提出这个要求有两点原因：首先是前面刚教学了四则混合运算，学生具备列综合算式的能力。更重要的是，列方程解答稍复杂的百分数应用题，要以现在的综合算式的数量关系为依托。
第三，不教学稍复杂的分数除法问题。过去的小学数学教材在分数四则混合运算单元里，总要安排两步计算的分数除法应用题，本单元没有这方面的内容。这是由于本册教科书采用列方程的方法解决分数除法实际问题，并且和相应的百分数除法问题一起教学，一并安排在《百分数》单元里教学。本单元只教学两步计算的分数乘法问题，可以在它的数量关系上多投放一些时间与精力，为后面的教学打下扎实的基础。
课程标准只安排分数的四则计算和四则混合运算，没有把分数与小数的混合运算列为教学内容与要求。所以，本单元没有分数与小数的四则计算和混合运算。
1.一题两解，同时教学运算顺序和运算律的知识
例1结合解决实际问题教学混合运算的知识，求做两种中国结一共用彩绳多少米。由于这个问题具有特殊性（两种中国结的个数相同，两种中国结每个用彩绳的长度不同），所以它有不同的解法。教材充分利用这一特殊性，鼓励学生按不同的思路解答，75列出综合算式2/5×18+3/5×18和2/5+3/5×18，让他们逐个解释综合算式的结构与含义，体会分数四则混合运算的运算顺序。像这样联系解决实际问题的思路体会算式的运算顺序，一方面感受了运算顺序的合理性，另一方面感受了分数的这些运算顺序和整数的运算顺序完全一致。两道综合算式解决同一个问题，有相同的结果，能够组成等式2/5×18+3/5×18＝23+3/5×18，而这个等式表示整数乘法分配律在分数乘法中同样适用。
接着例1编排的“练一练”第2题的第一小题可以用简便方法计算。要启发学生找到可以简便计算的因素，把1/5÷7/6变成1/5×6/7，创造应用乘法分配律的条件。整数四则混合运算的简便计算因素比较明显，而分数四则混合运算的简便计算因素往往比较隐蔽，需要认真审题来发现和利用。第二小题计算12/7-(1/3÷7/15+4/5)，按运算顺序算出1/3÷7/15的商5/7以后，应采用减法性质进行简便运算。在四则混合运算的过程中关注能简便计算的机会，这是教材提出的新要求，也是学生计算能力逐步提升的一种表现。
2. 数形结合——借助数量关系式确定解题思路
本单元的例2和例3都是稍复杂些的分数乘法问题，不仅含有求一个数的几分之几是多少的数量关系，还含有两个数相并或相差的数量关系，因而比一步计算的问题要复杂些。
分析数量关系是两道例题的教学重点。教材利用线段图直观显示数量关系，采用先画出一些，让学生继续画下去的方式，帮助他们形成解题思路。教学应该重视画图活动，把学生“会画图、会用图”作为教学的内容与任务，让他们体会画图有助于理解数量关系和解题步骤，积累画图与用图的经验，进一步充实曾经教学的画图策略。具体些说，要注意三点：首先找到实际问题里已知的那个分数并分析其意义，理解运动员总人数和去年的班级数都是可以看作单位“1”的数量，画出表示运动员总人数和去年班级数的线段，才能继续表示男、女运动员人数和今年的班级数。这是分析“男运动员人数占5/9”以及“今年班级数比去年增加1/6”这两个条件中分数的意义，得出的画图思路。其次要使学生理解，男运动员人数是运动员总人数的一部分，可以表示在运动员总人数的线段图上；今年的班级数与去年的班级数之间是比较关系，不存在包含与被包含关系，因此要各画一条线段分别表示。然后要让学生看着画成的线段图，口述女运动员人数与运动员总人数、男运动员人数的关系，得出数量关系式“女运动员人数=运动员总人数-男运动员人数”；口述今年班级数与去年班级数、今年比去年增加的班级数的关系，得出数量关系式“今年班级数=去年班级数+今年比去年增加的班级数”，感受线段图是表示数量关系的手段，是形成解题思路、解决问题的有效工具。
过去教学像例2和例3这样的实际问题，非常提倡一题多解。就例2来说，要根据“运动员总人数减男运动员人数得女运动员人数”，列出算式45-45×5/9；还要根据“女运动员人数占运动员总人数的1-5/9”，列出算式45×1-5/9。而且十分赞赏后面一种算式，鼓励学生列这样的式子解题。再说例3，要根据“去年的班级数加今年比去年多的班级数得今年的班级数”，列出算式24+24×1/4；还要根据“今年的班级数是去年的1+1/4”，列出算式24×1+1/4。也是鼓励学生列后面一种算式解题。本单元教学的两道例题，只出现前面一种算式，只要求用前面一种数量关系解题。因为这些解法的数量关系，是实际问题中最基本的数量关系，人们比较熟悉，容易寻找，喜欢使用。而学生对这些数量关系的理解和掌握程度也比较好，用来解题的困难也小。更重要的是，这些数量关系也是列方程解答其他分数、百分数问题的相等关系，对以后的教学影响很大，直至初中数学里还会经常应用。至于后面一种解法，要从一个已知的分率联想其他的分率，思维比较抽象，对推理的要求也比较高，往往需要进行分率联想的专项训练。也许解答两步计算的分数问题，列后一种算式解答，算起来比较快些，但如果解决更加复杂的问题，就不太方便了。所以教材不提倡用这样的方法解题。如果学生确实独立想到这些解法，应该给予肯定。但是，不必要求其他学生也照着做。要使这两道例题的教学，做到着眼今后，突出重点，减轻负担。
加强对解题结果的检验。两道例题都很重视对答案的检验，都提出了验算要求。每道题的检验方法也是多样的，学生只要选择一种方法检验结果就够了。例2可以检验算出的女运动员人数是不是占运动员总人数的4/9，或者检验男运动员人数与女运动员人数之和是不是45人……例3可以检验今年班级数是不是比去年多1/6，或者检验今年班级数减今年比去年增加的班级数是不是等于去年的班级数……
注重对解决问题过程的回顾与反思。两道例题都很重视解题以后的回顾反思，应该围绕分析数量关系、利用线段图、检验结果等解题的主要环节，组织学生说说怎样想，怎样做，从而积累解决问题的经验，提高解决问题的能力。还可以围绕这两题为什么都需要两步计算，它们与以前学习的分数实际问题有什么不同等进行反思，体会自己的进步，增强学习数学的自信心。
练习十三配合例2和例3的教学。解答两步计算的分数乘法问题时，要组织学生想想、说说数量关系和解题步骤，适当画些线段图，不仅要关注列式计算是否正确，更要关注数学思维的展开与解题思路的形成，以培养良好的解题习惯。教材里设计了一些题组，通过解题前、后的比较，能够进一步整理数量关系，明晰思路。第7题的两问是连续的，先求得已经铺设的米数，就能继续求还要铺设的米数。比较这两问，能明白前一问里求840米的3/5是多少，后一问是从电缆总长里去掉已经铺设的米数。第13题的两小题里都有1/4，一道题里是“用去1/4”，另一道题里是“还剩1/4”。因此，算式5/8×1/4在两道题里的意义不同。虽然两题都是求钢条还剩下的米数，解法不同的道理是很清楚的。第15题里设计了两个意义不同的1/8，其中一个1/8表示的是实际用煤节约的吨数相当于计划用煤吨数的份额，另一个1/8是实际用煤节约的吨数。由于实际节约用煤的吨数在两道题里分别直接已知或者不是直接已知，求实际用煤多少吨的算法自然就不同了。
百分数
本单元在整数、小数和分数，特别是分数的意义、性质以及应用的基础上编排，主要教学百分数的基础知识和实际应用。
百分数是一种特定形式的分数，表示两个数或者两个同类数量之间的倍比关系。正是这种形式，使百分数能够很方便地进行表达和比较，在生活和生产中有极广泛的应用，尤其在统计时用得很多。也正是这种形式，使百分数与整数、小数、分数都有密切的联系。学生在学习百分数时，既需要运用整数、小数、分数的基础知识，又能对整数、小数、分数产生更加深刻的认识。全单元编排11道例题，具体安排见下表：
例1百分数的意义和表示方法
例2百分数和小数的相互改写
例3百分数和分数相互改写
例4例5求一个数是另一个数的百分之几的实际问题
例6求一个数比另一个数多（少）百分之几的实际问题
例7例8纳税和利息 求一个数的百分之几是多少的实际问题
例9折扣 已知一个数的百分之几是多少，求这个数的实际问题
例10例11稍复杂的已知一个数的百分之几是多少，求这个数的实际问题
单元整理与练习
从表格里可以看到，教材先安排三道例题，教学百分数的基础知识，包括百分数的意义、表示方法、与小数、分数的改写等内容。再安排八道例题，教学百分数的应用，依次是：求一个数是另一个数的百分之几；求一个数的百分之几是多少；已知一个数的百分之几是多少，求这个数。这样的内容结构，与分数的实际应用相一致，便于教学。纳税、利息、折扣都是百分数在日常生活中的应用，与每一个人都有关系。教材联系这些实际问题，把“求一个数的百分之几是多少”与“已知一个数的百分之几是多少，求这个数”两类问题有机结合，让学生同时获得数学知识和生活经验。
百分数单元是本册教材的重点内容之一，与实验教材相比，主要有两点变化:一是在题材的选择上更强调百分数在数据分析过程中的作用。教材特别注意以统计活动为背景，组织学生的学习和探索活动，以凸显百分数在数据分析过程中的作用。例如，学校篮球队三场比赛的投篮情况、我国海水可养殖面积、我国铁路和公路客运量等。二是适当调整稍复杂的分数、百分数除法实际问题的教学内容。这一内容是本单元的教学重点也是难点。实验教材中第一个例题是百分数“和倍”问题，考虑到分数、百分数实际问题教学内容体系的完备性。修订教材时，删去了这个问题，同时把“已知一部分数与另一部分数占总数的百分之几，求总数”的实际问题作为第一例题，并在练习中通过整数“和倍”问题带出分数“和倍”问题及其变式。这样由易到难，由简单到复杂地安排教学内容，加强了教学内容结构的系统性，更符合学生的认知规律。
1.以分数和比的知识为生长点，教学百分数的意义
分数和百分数是两个有联系的概念，教材利用它们的共同属性，从分数引出百分数，初步揭示百分数的意义。例1对学校篮球队三场比赛的投篮情况进行分析。教材用统计表给出了每场比赛的投篮次数和投中次数，要学生想办法比较这三场比赛的投篮情况。这三场比赛，投篮次数各不相同，投中次数也互不一样，虽然可以比较投篮次数，也可以比较投中次数，但都不能很好地反映各场比赛的投篮水平。于是联系分数的知识与应用，想到“投中次数占投篮次数的几分之几”，通过比较三个分数的大小来评价三场比赛的投篮水平。
教材因势利导，安排学生“先算出每场比赛投中次数占投篮次数的几分之几，再比一比”，让他们体会这种比较办法的合理性，比较三个分数的大小，学生会把异分母分数化成同分母分数。在比较大小和回答实际问题时，要注意教材里的两点。一点是通分前明确指出：为了便于统计和比较，通常用分母是100的分数来表示。在解决问题起始，就突出“分母是100的分数”，把学习心向往百分数上引。另一点是用三行文字分别解释64/100、65/100、60/100的具体含义，突出它们都表示投中次数占投篮次数的一百分之几，充分显示这些分数都是“表示一个数是另一个数的百分之几的数”，为概括百分数的意义积累比较充实的感性认识。
百分数与比也有联系，人们往往把百分数说成百分比，换个角度揭示百分数的本质特征。第85页“试一试”，先把“男生人数是女生的45%”里的百分数，改写成（）/100的形式，再次感受百分数是分母为100的分数。然后写成后项是100的比，进一步体会百分数和分数一样，都表示两个数量间的比较关系。而百分数在表示一个数与另一个数的倍数关系时，采用了特定的表达：分母是100的分数，通常不写成分数形式。如果说“试一试”里把45%写成45∶100，通过45/100为中介，那么练习十四第4题根据百分数写出比、第5题根据后项是100的比写成百分数，都在直接体验百分数与比的联系。
进一步弄清百分数与分数的联系和区别，能加强百分数的概念。第88页第3题，现实材料里的分数的分母都是100，判断哪些分数可以用百分数表示，哪些不能。编制这道题，是为了进一步凸显百分数的意义。当分数具有一个数与另一个数“比倍”（是几倍或是几分之几）的意义时，它与百分数在意义上是一致的，可以写成百分数的形式。当分数不表示两个数量的倍数关系时，不能把它视为百分数。这道题里，75/100表示运走的煤与原来煤的质量关系，即运走煤的吨数是这堆煤原来吨数的75/100，显然它是一个百分数，可以写成75%。97/100吨表示一堆煤的质量，不具备“一个数是另一个数的百分之几”的含义，虽然它的分母是100，也不能把它看作百分数，更不能表示成百分数的形式。通过这些辨别，学生能清楚地知道，百分数是分母为100的分数，而分母是100的分数不一定是百分数，这种感受使他们更关注百分数的本质特征。
教材精心设计练习，使学生对百分数的认识逐渐变宽、变深、变清。其一，牢固确定“1”的概念。 “练一练”第1题，涂色的部分和没有涂色的部分分别是大正方形的7%和93%、30%和70%、95%和5%。每个大正方形都表示“1”，涂色的和没有涂色的都是大正方形的一部分，根据图写出的百分数都表示占“1”的百分之几。同一幅图里涂色的部分和没有涂色的部分合起来刚好是大正方形，与图对应的两个百分数之和是100%，等于1。如果把这题里获得的认识应用于第89页第8题，体会“已完成65%”的含义，就能把需要下载的任务（即示意图的整个线条）看作“1”，想到（或算出）还有35%没有完成。带着这些经验继续看第9题的统计图以及其中两个百分数的意义，就能理解佳美超市的营业额是“1”（即100%），至诚超市和大达超市的营业额分别相当于佳美超市的120%和85%。其二，百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，不表示两个数各是多少。，如第89页第10题参加学校团体操表演的男生人数占40％，这个百分数只表示男生人数在总人数里占的份额。如果总人数多，男生人数也多；如果总人数少，男生人数也少。这是理解百分数意义不可缺少的认识。又如第11题两个学校的女生人数都是学生总数的49％，两个学校女生人数在学生总数里占的份额相同，而人数未必一定相同。
2. 在探索的基础上适当点拨，教学百分数与小数、分数的改写
百分数与小数的改写是相互进行的，有时把小数改写成百分数，有时把百分数改写成小数。这些改写经常应用于百分数的计算和解决实际问题。例2联系比较数的大小的问题，首先让学生感到小数与百分数的改写是客观需要。如果不把1.15改写成百分数，或者不把110%改写成小数，直接比出1.15和110%的大小是很困难的。例题同时出现把小数化成百分数的过程，又把百分数化成小数的过程。这是考虑了学生独立解决问题，会有不同的思路，会选择不同的方法，教学应该尊重他们的想法和做法。在交流的时候，学生既介绍自己的思考，也吸收他人的方法，集思广益、资源互补、成果共享，获得完整的知识。教材鼓励学生联系已有的数概念，主动探索改写的方法。如两位小数表示百分之几，1.15可以写成115/100；百分数是分母为100的分数，110%可以写成110/100。只要小数概念和百分数的意义清楚、正确，独立进行这些改写是完全可能的。 学生虽然开展了百分数与小数之间的改写活动，但体验不会很深刻。所以，例题暂时不归纳百分数和小数相互改写的方法。让学生在“试一试”里继续改写，获得丰富的改写体验，从而逐渐掌握改写的方法，形成相应的改写法则。教材还通过大卡通的提问，引导学生把写成的百分数与原来的小数比较，研究从小数到百分数，数的外在形式发生了哪些变化。发现小数改写百分数，原来的小数点要向右移动两位。理解小数点向右移动两位的同时，给数添上百分号，数的分子、分母同时乘100，大小不变。把这些变化视为规律，当成改写操作的要领和方法，可以直接应用到小数改写成百分数中去，简化改写的思路与过程。至于百分数化成小数，是小数改写成百分数的反向行为，通过逆向推理，得出百分数直接写成小数的方法，并在“试一试”第2题验证和应用，体会去掉百分号的同时，把小数点向左移动两位，百分数的分子、分母同时除以100，大小不变。
例3教学分数化成百分数，“试一试”里是百分数化成分数。把分数与百分数相互改写的教学分开编排，是因为两个改写的方法不一样。分开编排，便教利学。分数化成百分数，一般利用分数和除法的关系，先把分数化成小数，再把小数写成百分数。小数作为分数化成百分数的中间环节，把分数向百分数的改写分解成连续的两步改写，充分利用了已有的知识经验。分子除以分母，有除尽或者除不尽两种可能，例3兼顾了这两种情况，其中前一小题的商是有限小数，后一小题的商是无限小数。对除不尽这种情况，教材示范了得数保留三位小数，以及把近似数化成百分数的方法和书写格式，还在底注里作了说明。
百分数改写成分数，一般先把百分数写成分母是100的分数，再约分化简。在教学百分数的表示方法时，教材曾经指出：百分数通常不写成分数的形式，而在原来的分子后面加上百分号“%”。现在把百分数写成分母是100的分数形式，是逆向应用这个知识。“试一试”把三个百分数都先写成（）/100，突出了百分数改写成分数的基本思路。写出的23/100是最简分数，23%化成分数的最后结果就是它。75/100可以约分，75%改写成的分数应该化简为3/4。12.5/100的分子是小数，还要应用分数的基本性质，把分数的分子和分母都变成整数，并约分化简。在“试一试”的最后，要求学生想一想分数改写成百分数要注意什么，百分数改写成分数要注意什么，用这种方式小结例3的教学。“注意什么”应包括改写的基本思路与方法，改写时一些技术性的常规要求和处理习惯，以及改写时的人个体会。
3. 教学求“百分之几”的问题，围绕百分数的意义，突出数量关系
求一个数是另一个数的百分之几，是百分数的一类实际应用。尤其在统计里，经常要求出“百分之几”，并进行分析、比较。
1） 教学例4，促进已有经验的迁移应用。
五年级下册教学分数意义时，曾经用几分之几表达两根直条的长度关系。如红色直条的长度是蓝色直条的4/5，蓝色直条的长度是红色直条的5/4。本册教科书教学分数乘法时，也用分数表示条形图里数量之间的关系。如红花朵数比黄花多1/10，绿花朵数比黄花少2/5。现在教学的例4，用条形图表示王红等三人一周中长跑的路程，学生看了条形图，不但能了解三人各跑的千米数，还能直观感觉到图中那些数量之间存在“几分之几”的关系。如李芳跑的路程是王红的4/5，王红跑的路程是林小刚的5/7……这些是解答一个数是另一个数的百分之几问题可以利用的经验。
求一个数是另一个数的百分之几，可以看作求一个数是另一个数的几分之几的特殊情况。它的问题表述形式、数量关系以及解答方法，都与求“几分之几”十分相似。它的特殊表现在结果必须是百分之几，并用百分数的形式表示。例4在条形图呈现的情境中，提出问题“李芳跑的路程是王红的百分之几”，学生会把这个问题与李芳跑的路程是王红的几分之几联系起来，把已有的解题经验迁移到新的问题情境中，想到先算李芳跑的路程是王红的几分之几，再化成百分数。在列式计算4÷5＝4/5＝80％以后，体会到可以先用小数表示（算式的）计算结果，再化成百分数。教学要让学生体会，4÷5的商可以是分数，也可以是小数，而小数化成百分数比分数化成百分数方便。因为分数化成百分数，还得以小数为中介，不如直接用小数表示除法计算的结果简便。
“试一试”求王红跑的路程是林小刚的百分之几，可以直接应用例题的想法与算法。教学要注意两点：一是突出求百分之几问题的数量关系，通过分析具体问题的含义来形成数量关系式“王红跑的路程÷林小刚跑的路程=王红跑的路程是林小刚的百分之几”。还可以通过与例4问题的对比，来理解数量关系。例4是李芳跑的路程和王红跑的路程比，把王红的路程看作单位“1”；“试一试”是王红跑的路程和林小刚跑的路程比，把林小刚跑的路程看作单位“1”。因此，王红跑的千米数，在例4的算式里是除数，在“试一试”的算式里是被除数。这些比较，能使学生感到，求一个数是另一个数的百分之几，必须正确判断谁与谁比，以谁为单位“1”。二是算式5÷7的商是无限小数，应该和前面的分数化成百分数一样，保留三位小数，使百分号前保留一位小数。
2）教学例5，关键是理解百分率的含义。
例题用统计表给出学校田径队某星期每天早晨参加训练的人数，求田径队这星期各天的出勤率。练习里还有“儿童入学率”“森林覆盖率”“树苗成活率”“种子发芽率”“食品合格率”“电视收视率”“含糖率”……这些都是常见的百分率。求百分率必须理解它的含义，找到相比较的两个数量，确定作为单位“1”的数量。教材指出：出勤率表示实际出勤人数占应出勤人数的百分之几。完整地讲述了出勤率的含义，把“求百分率”具体解释成“求一个数是另一个数的百分之几”，列算式计算出勤率就容易了。在计算田径队周一的出勤率后，要求学生再选择两天的数据计算相应的出勤率，以巩固对出勤率的认识。周三、周四的实际出勤人数与应出勤人数相同，计算出勤率的算式是40÷40＝1，要指导学生把1改写成100％。还要组织学生反思，为什么周一、周二、周五的出勤率不是100％？出勤率最高是多少？能超过100％吗？以使他们对出勤率的理解深入一步，并成为理解其他百分率的基础。正是这个原因，教材把其他百分率都安排在习题里，让学生去体会各个百分率的含义，而教材不再给出解释或说明。不过，教学时还是应该让学生说说所求百分率的意思，适当加强解释百分率含义的训练。
“练一练”和练习十五第5～8题是配合例5的习题，目的是让学生更好地认识常用的百分率。教材有以下几点设计意图，需要教学认真落实：一是理解各个百分率的具体含义，通过“练一练”第1题说说儿童入学率和森林覆盖率表示的意思，培养理解百分率含义的习惯与能力。二是通过多次求百分率的计算，感受入学率、覆盖率、合格率等百分率只表示部分占整体的比率。如练习十五第7题给出的两个发芽率分别表示两种大豆种子的发芽比率，是发芽的种子数占种子总数的百分率，不是发芽的种子颗数。不能因为第二种种子的发芽率比第一种种子高，就说第二种种子的发芽颗数一定比第一种种子多。而且，发芽率一定小于或等于100％，不会大于100％。三是百分率可以比较大小，如第8题里右边杯子糖水的含糖率比左边杯子糖水的含糖率高。
4．应用概念、联系经验进行推理，求一个数比另一个数多（少）百分之几。
例6是一个数比另一个数多百分之几的问题，“试一试”是一个数比另一个数少百分之几的问题。学生有求一个数比另一个数多（少）几的经验，已能求一个数是另一个数的百分之几。教材充分利用这些资源，引导学生通过推理，探索例题与“试一试”的算法，鼓励解决问题方法多样化。
·线段图直观。例6画出表示东山村原计划造林面积和实际造林面积的线段图，还在图上标出了表示实际比原计划多的那一段，帮助理解“实际造林比原计划多百分之几”的含义。让学生体会这是把原计划造林面积作为单位“1”，实际多造林的公顷数与原计划造林面积相比。求实际造林比原计划多的公顷数占原计划的百分之几，需要分两步解答。
·思路与解法多样。例题用两种方法求得实际造林比原计划多25% ，“萝卜”的思路是：实际比原计划多造林的4公顷占原计划造林面积的25%，他先算了4公顷；“番茄”的思路是：实际造林面积是原计划的125%，比原计划多25%，他先算了125%。教材希望这些解法都是学生在线段图的帮助下想到的，在交流时鼓励思路与方法多样化，允许学生选择解法。
·类推并比较。“试一试”解决的问题与例6貌似相同、实质不同。所谓貌似相同，因为两个问题都是实际造林面积和原计划造林面积的关系，学生往往会从实际比原计划多25%得出原计划比实际少25%这个错误结论。其实，这两个问题有质的区别，首先是数量关系不同，作为单位“1”的数量不同，列出的算式不同；其次是两个问题的结果不同：实际比原计划多25%、原计划比实际少20%。为此教材里有比较两题的结果，分析结果不同原因的安排。
·设计题组，加强概念。解答求百分率的实际问题是应用百分数意义进行推理的过程，每一个求百分率的问题都计算一个数是另一个数的百分之几，各个百分率都有特定的具体含义。练习十五里编排一些题组，旨在进一步加强百分数的概念。如第13题分别把会游泳人数或不会游泳人数与全班人相比，得到的两个百分数是不同的。第15题里既有相同条件求不同的百分率，也有不同条件求相同的百分率，从中体会数量关系和解题过程的不同。第16题里虽然三个百分率的计算思路一致，由于利用的条件不同，因而结果也不同。
5．促进经验迁移，求一个数的百分之几是多少。
有关纳税和利息的数学问题通常是百分数问题，求应该缴纳多少税、可以得到多少利息，一般就是求一个数的百分之几是多少。例7教学纳税的问题，例8教学利息的问题，它们的解题思路与数量关系有相似的地方，适宜编排在一起教学。另外，税率和利率都是国家的有关部门规定的，普通公民不需要计算税率和利率，只要根据规定的税率和利率计算应缴纳多少税、能收入多少利息。
·创造迁移的氛围，让学生主动解决纳税问题。
解答例7，求60万元的5%是多少万元，从5%的概念出发，利用5%与5/100意义上的共同点，让学生在60万元的5/100基础上，通过推理懂得求一个数的百分之几是多少也用乘法计算。计算60×5%转化成60×5/100，再次体会两者的数量关系是一致的，用乘法求一个数的百分之几是多少是合理的。学生计算60×5％，会感到两个乘数不能直接相乘。5％可以化成小数0.05，也可以化成分数5/100，他们计算60×5％，会出现60×0.05和60×5/100两种算法。教学时要组织学生比较这两种算法，体会把百分数化成小数比化成分数简便些。
例7计算应缴纳的营业税，“试一试”和练习中还要计算应缴纳的增值税、个人所得税等，都是我国现行的主要税种。税率虽然不同，计算应纳税额的原理与方法是致的。学生独立解决一些关于纳税的问题，实现例题到练习题的迁移。另外个人所得税的计算则比较复杂。目前，月工资在3500元及其以内，不需要纳税；超过3500元的部分，要按规定的百分率缴纳个人所得税。考虑到学生年龄小，知道的纳税知识少，对纳税的事情不太了解，教材暂时不涉及工资收入的个人所得税问题。（原教材练习二的第4题已删去）
·接受和理解利息的算法。利息有规定的算法，把算法告诉学生，理解算法的数量关系，是比较适宜的教学方法。例8在亮亮存款的情境里出现“利息＝本金×利率×时间”，在底注解释本金、利息、利率的意思，让学生理解年利息是按年利率计算的，是求本金的百分之几；如果存期超过1年，还要把年利息乘时间。按照利息的计算公式列式求得利息，能对利息的算法有进一步的体验。
有关利息的实际问题一般有两种情况：一种问题是求存款到期后可以得到多少利息，例8就是这种问题。另一种问题是求存款到期后可以获得本息一共多少，“试一试”就是这样的问题。教学“试一试”要给学生两点指导：一点是正确理解所求问题，弄明白“到期后应从银行取回的钱”包括本金和利息两部分，是求“本金加利息”一共多少钱。二是解决求本息一共多少的问题适宜分两步计算，先算可以得到多少利息，再算本息一共多少。以前的教学经验告诉我们，分步计算能避免错误，解题的正确率比列综合算式会高些。
6．解答“打折扣”的实际问题，沟通各类百分数问题的联系。
学生已能解答求一个数是另一个数的百分之几的问题，以及求一个数的百分之几是多少的问题，例9教学已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，并沟通三类百分数问题的联系。
·以百分数乘法为相等关系，列方程解决实际问题。例9已知《趣味数学》打八折是12元，求书的原价是多少。教材先告诉学生八折是80%，还在底注里介绍什么是打折扣，以及折扣的含义，指出几折就是十分之几，也就是百分之几十。然后让学生思考原价和实际售价的关系，联系打折扣的含义，得到数量关系“原价×80%＝实际售价”。在这个关系式里，已知实际售价、求原价，如果设原价为x元，就能列方程解决问题。
·用不同方法检验，沟通百分数问题的联系。检验实际问题的答案，一般不采用代入原方程的方法，因为把x的值代入原方程只能检验解方程，不能检验列方程。教材鼓励学生联系折扣的含义，用多种方法检验。“萝卜”检验实际售价12元是不是原价15元的80%，“辣椒”检验原价15元的书打八折后的实际售价是不是12元。例题及两种检验，都在原价、现价、折扣三个数量里已知两个，求另一个，它们是有关折扣的三类实际问题。例题的解答及其检验，体现了各类百分数问题的内在联系。
·进行解决各类问题的练习，灵活应用数量关系。练习十六里编排了关于折扣的各种问题，第8题已知原价和折扣，求打折后的售价；第9题已知打的折扣以及打折后的实际售价，求打折前的原价；第10题根据原价和现在售价，求打的折扣。学生解决这些问题，能进一步理解折扣的含义和实际应用，灵活掌握数量关系。解答这些题都从折扣的具体含义分析数量关系，首先是“原价×折扣＝现价”。在这个关系式里，如果已知原价求现价，可以列乘法算式计算；如果已知现价求原价，列方程是常用的方法。然后是“现价÷原价＝折扣”，即现在售价是原来价钱的百分之几十，就是打了几折。练习十六的第7题，把已知的百分数改说成打的折扣，启示学生求打的折扣就是求现价占原价的百分之几十，为第10题作了铺垫。练习十六第12~17题是例7、例8、例9的综合练习题，题目要稍复杂一些。第16题的购物活动稍复杂一些，可以从“按九折优惠买了2张足球赛门票，一共用去54元”先算出优惠价门票1张27元，这样求门票原价的问题就被化简了。第17题买一辆摩托车一共要花的钱包括摩托车的价钱和应缴纳的车辆购置税。小学数学有关百分数的实际问题以两步解答的为主，如果遇到解题步骤较多的问题，一般都设计成连续两问的问题，以降低解答的难度。
7．列方程解答较复杂的百分数问题。
这两道例题和《分数四则混合运算》单元的例2、例3遥相呼应，利用像前面例题那样的相并关系或相差关系，列方程解答。相并关系通常指两个部分数与总数的关系，相差关系一般指大数、小数和相差数的关系。虽然相并与相差是学生早就认识的数量关系，但在较复杂的百分数问题情境里也不大容易抓住。为此，例题利用线段图给予直观帮助。
·利用线段图显示相等关系，分散列方程的难点。求单位“1”是多少的百分数问题一般列方程解答，找到相等关系既是关键，又经常是难点。例10用一条线段表示一共的吨数（即单位1），分成两个部分运走的吨数和还剩的吨数，要求学生先根据题意把线段图填写完整，体会“运走粮食的吨数+剩下粮食的吨数＝粮食的总吨数”，或者“粮食的总吨数-运走粮食的吨数＝剩下粮食的吨数”。从而找到相等关系。例11用两条线段分别表示原计划和实际的培育的棵树，先画表示原计划培育棵数的线段是因为把它看成单位“1”的量。实际培育的棵数比原计划多，也就是“原计划培育的棵数+实际比原计划多培育的棵数＝实际培育的棵数”，这正是实际问题的相等关系。教材利用线段图直观反映例10里的两个数量的相并关系，例11里两个数量的相差关系，有助于学生理解相等关系。
两道例题列出的方程都形如“x±ax＝b”，不仅设单位“1”的量数为x，还要用含有x的式子表示运走吨数或实际多培育的棵数，这是列方程的难点。对此，教学应该注意两点：第一是写设句，即设哪一个数量为x。例10为什么设“粮食总吨数为x”，要引导学生抓住题目中已知的百分数“运走60％”，分析它的意义，体会这样的设句是合理的，不仅用x表示了单位“1”的数量，还很容易用含有字母的式子“60％x”表示运走大米的吨数。例11设“原计划培育x棵”，不只是把所求数量设为x，更重要的是把未知的单位“1”的数量设为x，实际比原计划多培育的棵数就能用“20％x”表示了。第二是解方程。要先化简方程的左边，使原方程变成ax=b的形式，再应用等式性质，得到方程的解。为了使学生较好地掌握解方程的方法，练习十七里编排了两组解方程的习题，意在提醒教学关注学生对方程解法的掌握情况。
·加强数量关系的练习，提高寻找相等关系的能力。
配合两道例题的“练一练”十分重视分析数量关系，都要求先填写实际问题的数量关系式，再列方程解答，着力培养分析数量关系和选择解法的能力。寻找相等关系是解答这些题的关键，也是指向解题难点的基础训练。要引导学生从分析题目里已知的那个百分数开始，有条理地进行思考。如例10的“练一练”第1题，把电缆线的全长看作单位“1”的数量，还剩75％没有铺，数量关系应是“电缆全长-剩下没有铺的长度＝已经铺的长度”。再如例11的“练一练”第1题，把美术组的人数看作单位“1”的数量，舞蹈组人数比美术组少30％，由此推理出数量关系是“美术组人数-舞蹈组比美术组少的人数＝舞蹈组的人数”。寻找相等关系是列方程解决实际问题不可缺少的步骤，直接影响解题方法是否正确、是否方便。解答练习十七里的实际问题，应该继续重视这一点。练习十七分别配合例10、例11的教学，设计了题组。如第3、7、8题，同一个题组的两道小题，是相同事件的两种不同情况。它们有相同的已知条件，要求回答不同的问题。所以，分析数量关系有相同的切入点，但要向不同方向推理。教材编排这样的题组，是为了提高学生分析数量关系的能力。教学这些题组，要在学生独立解题的基础上，引导他们比较同组两题的数量关系，看到相同的切入点和不同的推理方向，体会分析数量关系的要领。
·带出稍复杂的分数问题。
练习十七第10～15题是两道例题的综合练习，继续应用例题教学的思想和方法，解决有些变化的问题。前面已经多次讲过，无论是求一个数的百分之几是多少的问题，还是已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，都要抓住题目给出的那个百分数，分析它的意义，找到作为单位“1”的数量，得出相应的数量关系式，利用数量关系式确定解题方法，或是列式计算，或是列方程求解。这是相对稳定的思想方法，贯穿在两道例题以及配套习题之中。学生具有解决问题的能力之后，不只是会解答与例题同样的问题，而且能解决有些变化的，甚至比较新颖的问题。为此，教材编排这些综合练习题。1）由整数的和倍、分数的和倍迁移到百分数的和倍、差倍问题，让学生在独立解答这些题的过程中实现认知同化。第10题的两小题，桃树与梨树棵数的倍数关系分别用整数或小数数表示，两小题都已知桃树和梨树一共有96棵，显然数量关系式都是“桃树棵数+梨树棵数＝96”，第12题的两小题都已知“蓖麻的棵数是向日葵棵数的75％”，都把向日葵棵数作为单位“1”的数量。第（1）题还已知“向日葵和蓖麻一共147棵”，数量关系式是“向日葵棵数+蓖麻棵数=147”。第（2）题还已知“向日葵比蓖麻多21棵”，数量关系式是“向日葵棵数-蓖麻棵数=21”。2）第13、14、15三道题是已知一个数的几分之几是多少，求这个数的问题，都需要列方程解答。在本册教科书《分数除法》单元里几乎都没有出现过类似的。解答这些分数问题，也要运用例10和例11的思想方法。如第15题已知两个分率，“第一天看全书的1/6”“第二天看全书的1/5”，都把一本书的页数作为单位“1”的数量。已知两天一共看33页，数量关系式是“第一天看的页数+第二天看的页数＝33”。教学这些综合练习，要了解教材的编排意图，要把握这些习题与例题的内在联系，要突出解题的思想方法，要调动学生的主动性与能动性，要重视解题以后的反思，实实在在地帮助学生完善认知结构，提高解题能力。
精心设计动手做活动
本册教材教材精心设计了三次动手做的活动。教学时要体现趣味性、实践性和数学性。培养学生探索规律的兴趣，提高概括能力
1．练习一的后面有一次“动手做”，要求在10cm×8cm、8cm×8cm、10cm×5cm、8cm×5cm、10cm×10cm这五种长（正）方形纸片中选择几种，每种若干张，先围成一个长方体，再围成一个正方体。学生选择图形及其张数时，要思考长方体或正方体的特征，既要做到长方体的上、下两面完全相同，左、右两面完全相同，前、后两面完全相同，又要做到前、后面与上、下面的长相等，前、后面与左、右面的高相等，上、下面与左、右面的宽相等。所以说，这次动手做是一项富有趣味性和挑战性的任务，对学生的空间想象能力提出了较高的要求。要体现选择的多样性，可以做出长、宽、高都不相等的长方体，也可以做出有两个面是正方形的长方体。
2.练习十动手做首先要画出五角星，其次要量一量，要告诉学生测量有误差，不能准确得到0.618，三要让学生经历过程，体现数学的结构性。
3. 练习十三“动手做”，分三个层次进行。第一个层次规定长宽，这个层次里有画图形、放大图形、计算面积、求几分之几等活动，得到的结果是新长方形面积是原来长方形面积的9/4。第二个层次，任意画长方形，没有规定其长、宽是多少，得到的结果就不是个别的结论，而是一类现象的共同结果。第三个层次是发现规律：一个长方形，如果长、宽分别增加1/2，得到的新长方形面积总是原来长方形面积的9/4。如果把原来长方形的长用a表示，宽用b表示，那么原来长方形面积就是ab；新长方形的长应该是3a/2，宽应该是3b/2，面积应该是9ab/4。用字母表示数能够推理出规律。通过动手做培养学生探索规律的兴趣，提高概括能力。
综合与实践与探索规律
综合活动着力体现发现问题和提出问题、分析和解决问题的过程。例如《树叶中的比》，教材设计了“提出问题-探索实践-回顾反思”的活动线索，先引导学生通过对实物图片的观察，发现树叶中可能隐含着一定的规律，并通过讨论明确研究问题的方法；再组织学生通过测量、计算树叶长和宽的比值，计算比值的平均数，比较不同树叶长和宽的比值的平均数的等活动，发现同一种树叶长和宽的比值都接近某一个确定的数值。经历这样的过程，既可以帮助学生积累一些发现和提出问题、分析和解决问题的经验，又有利于学生感受数据的随机性，从中体会到只要有足够的数据，就能从纷繁、无序的自然现象中发现一些规律性的结论。教学时，要引导学生切实经历发现和提出问题、分析和解决问题的过程，同时注意活动的计划性，确保活动得以有序、有效地展开。
清晰呈现“探索规律”的活动过程。《表面涂色的正方体》是本册教材新增的“探索规律”活动，研究小正方体涂色面的规律，要分类整理各种小正方体的原来位置，与刚刚教学的正方体知识有联系，对空间想象力提出了新的内容与要求，有益于学生空间观念的发展。教材精心设计了探索规律的活动线索，引导学生从个别现象出发，通过观察、操作、比较、分析、想象、归纳等活动，发现简单数学规律，积累一些探索规律的经验，初步感悟模型思想。本次活动，设计了“提出问题-自主探索-发现规律-回顾反思”四个层次的活动，先引导学生在观察和比较中提出问题，再结合实例教给学生研究和探索规律的方法，并在明确方法后组织学生独立开展活动。然后，引导学生比较获得的数据，归纳和总结规律，用含有字母的式子表示规律。教学时，要按教材设计的线索组织学生活动，同时注意以下三点：一要引导学生借助直观图理解切开后各种小正方体的个数和所在位置级之间的关系；二要鼓励学生通过想象弄清小正方体表面涂色的各种情况；三要允许学生用自己能够理解的方式表达规律。
教材分三段安排学生开展探索规律的活动，依次是：提出问题与观察想象、揭示规律与写出关系式、回顾过程与反思体验。
（一） 提出问题，呈现现象，数数想想，初步发现规律
大正方体切成的小正方体个数越多，数出表面涂颜色的小正方体个数就越难。教材由少到多，逐渐增加难度：先把大正方体的每条棱平均分成2份，图示一个表面涂了颜色的大正方体被平均分的情境，让学生看着实物图数数、想想、说说，“能切成多少个大小相等的小正方体？有几个面涂了颜色？”这是多数学生没有想过的、富有挑战性的问题。教材希望学生围绕小正方体“有多少个面涂有颜色，哪些面涂了颜色”这些问题进行思考和讨论，发现切成的每个小正方体都有3个面涂了颜色，3个面没有涂颜色。从切成的小正方体的面有些在大正方体的表面上、有些在大正方体的里面，找到小正方体有涂色的面，也有没涂色面的原因。
活动一：把大正方体的每条棱平均分成3份，能切成多少个小正方体，切成的小正方体中，三面涂色。2面涂色，1面涂色的各有几个，分别在什么位置。指导学生研究，分类统计。活动二：感知涂色规律。思考为什么小正方体涂颜色面的个数不同？引导他们认识到由于有些小正方体在大正方体的顶点位置、有些在大正方体棱的位置、有些在大正方体表面的中间位置、有些在大正方体的里面。探究涂色规律，大正方体的每条棱平均分成4份、5份，仍然切成大小相同的小正方体，继续独立研究小正方体面上涂颜色的问题并把数得的结果填在教材的表格里。仔细观察与想象，能够发现：一个正方体被切成若干个同样大的小正方体，3面涂色的小正方体都在大正方体的顶点位置上，大正方体有8个顶点，3面涂色的小正方体一定是8个。2面涂色的在棱上，1面涂色的面上，没有涂色的在在大正方体的里面。
（二） 写出含有字母的关系式，用数学模型表达规律
3面涂色的小正方体一定是8个，个数确定且不变就是规律。
2面涂色的小正方体在大正方体每条棱中间位置上，个数虽然不固定，却是有规律的，这就可以用数学的方法与形式来刻画规律。a＝12（n-2）概括地表示了2面涂色小正方体个数与大正方体棱平均分的份数的关系。教学应引导学生结合填写在表格里的数据，得出（n-2）并理解其意思。学生用含有字母的式子表示数量关系，是参与一次建立数学模型的活动，不应要求他们记忆和应用写出的式子，也不应要求把这个用字母表示的关系式作为基础知识加以掌握，但应该经历写出式子的过程。1面涂色的小正方体在大正方体每个面的中间位置上，1面涂色的小正方体6（n-2）2个，一个面也不涂色的小正方体有（n-2）3个。学生独立得出上面这些关系式会有点困难，部分学生理解这些关系式也不容易，可以在教师帮助下写出和解释这些关系式。一定要把观察想象和揭示规律有机结合，在学生观察想象达到一定程度时，组织他们用适当的形式表达规律，用自己的语言解释规律。
（三） 回顾发现规律的过程，体会其中的经验
回顾与反思是数学学习的重要步骤。当学生完成一段数学活动以后，及时回顾活动过程，反思活动的方式方法，有利于他们积累数学活动经验，增添继续学习数学的后劲。这次探索规律教学的最后，要求学生说说自己的收获，体会如何仔细观察、充分想象，如何通过数数、算算找到有关数据，如何根据数据归纳出规律，如何用含有字母的式子准确、清楚、概括地表达规律……这些体会的作用与价值，将体现在以后的数学学习之中。
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