四年级《尚美数学》 - 校本课程

乘除法数字谜

你知道吗？读一读

解决算式谜题，关键是找准突破口，推理时应注意以下几点：

1.认真分析算式中所包含的数量关系，找出隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；

2.利用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合理的数字；

3.试验时，应借助估值的方法，以缩小所求数字的取值范围，达到快速而准确的目的；

4.算式谜解出后，要验算一遍。

学一学，我能行

在下面的方框中填上合适的数字。

分析：由积的末尾是0，可推出第二个因数的个位是5；由第二个因数的个位是5，并结合第一个因数与5相乘的积的情况考虑，可推出第一人个因数的百位是3；由第一个因数为376与积为31□□0，可推出第二个因数的十数上是8。题中别的数字就容易填了。

小试身手，练一练

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数学是大千世界的语言

杭州著名的风景点九溪十八涧，林木葱茏，泉水淙淙，有许多文人墨客在此留下了抒情写景的佳句。清末大文豪俞曲园先生就写过一首脍炙人口的五言绝句。

重重叠叠山

曲曲环环路

丁丁东东泉

高高下下树

有趣的是，如果把这首诗改写成下面的竖式加法形式，它仍然是成立的。

重曲丁高

+重叠 +曲环 +丁东 +高下

叠山环路东泉下树

上面一共是四道加法算式每个汉字都代表了一个阿拉伯数字。在同一个式子中，凡是相同的汉字都代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字。请你想一想，能不能通过简单的分析求出这四道算式的答案呢？

仔细观察，不难发现，四道算式都可以用一个统一的模式表示为：

+ A B

按照十进制表示法，两位数AB，就表示10A+B，例如74=7×10+4，于是上面的竖式就可以写成：A+10A+B=10B+C,整理后即为11A+B=9B+C.因为A、B表示不同的数字，所以A≠B。经过试验可知，这个问题只可能有四组解答，即：

A=5,B=6,C=1;

A=6,B=7,C=3;

A=7,B=8,C=5;

A=8,B=9,C=7。

于是原来的四句五言诗，便对应下面四道算式：

5 6 7 8

+5 6 +6 7 +7 8 +8 9

6 1 7 3 8 5 9 7

诗句竟然有算式可与之对应，这恐怕是作家本人当年也梦想不到的吧！这道题目，生动地说明数学的思想、方法、观点可以渗透到各个领域中去，印证了那句名言：数学是大千世界的语言。

简单的数列问题

你知道吗？读一读

高斯(Gauss,1777—1855)是德国数学家，有“数学王子”的美称，被认为是人类有史以来“最伟大的三位数学家之一”。

小高斯出生在一个贫穷的家庭，但他是一个聪明、爱动脑筋的孩子。

传说，他上小学的时候。有一天，老师想出一道题难为一下学生们，让大家计算1+2+3……一直加到100的和是多少？老师心里想，这下子他们一定要算到下课了吧！

教室里的同学们拿起石板开始计算：“1加2等于3，3加3等于6，6加4等于10……”数字太多了，一些小朋友加到一些数后就得擦掉石板上的结果，再加下去，数越来越大，很不好算。有些孩子的小脸涨红了，有些手心、额上都渗出了汗。

只有小高斯没有像其他同学那样急着相加，而是先仔细的观察、思考，然后再计算。不一会儿，小高斯拿起了他的石板走到老师的跟前说：“老师，答案是不是这样？”老师头也不抬，说：“去，回去再算！错了。”他想不可能这么快就会有答案了。

可是高斯却站着不动，他把石板伸向老师面前：“老师！我想这个答案是对的。”老师本来想怒吼起来，可是一看石板上整整齐齐的写了这样的数：5050。他惊讶得说不出话来，然后翘起了拇指。因为这道题的正确答案就是5050，这个10岁的小孩怎么这么快就得到正确答案的呢？

学一学，我能行

方法1：用第一个数加最后一个数是1+100=101，用第二个数加倒数第二个数是2+99=101，用第三个数加倒数第三个数是3+98=101……

101

1 + 2 + 3 + 4 + …+ 50 + 51＋ …+ 97 + 98 + 99 + 100

=（1+100）+（2+99）+（3+98）+(4+97)+ ……+（50+51）

= 101 + 101 + 101 + … + 101

50个101

= 101×50

= 5050

这样一头一尾两个数依次相加，每次加得的和都是101，而100个数每2个数为一组就是100÷2=50（组），有50个101就是101×50=5050。

方法2：把1、2、3……100按照从小到大的顺序排列，写在第一行；再按照从大到小的顺序排列，写在第二行，也就是：

……

100个101

100

我发现：上下两个数的和都是101，即1+100=101， 2+99=101， 3+98=101，……98+3=101，99+2=101，100+1=101，共有100个101，就是101×100=10100，即：

( 1 + 2 + 3 + 4 +……+ 97+98+99+100)+

(100 + 99 + 98+ 97+……+ 4 + 3+ 2+ 1)

=(1+101)+(2+99)+(3+98)+… +(98+3)+(99+2)+(100+1)

=101+101+101… + 101

100个101

=101×100

=10100

但是计算了两个从1加到100，所以10100 除以 2得到1+2+3+4+……+97+98+99+100的和，就是5050。即：

1 + 2 + 3 + 4 +……+ 97+98+99+100

=10100÷2

=5050

小试身手，练一练。

1、

共有（）根。

2、1+2+3+……+198+199+200=

3、李丽学英语单词，第一天学会了6个，以后每天都比前一天多学会1个，最后一天学会了16个。李丽在这些天中共学会了多少个单词？

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名人成长故事之数学王子高斯

1796年的一天，德国歌廷根大学，一个19岁的很有数学天赋的青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。

像往常一样，前两道题目在两个小时内顺利地完成了。第三道题写在一张小纸条上，是要求只用圆规和一把没有刻度的直尺做出正17边形。青年做着做着，感到越来越吃力。开始，他还想，也许导师见我每天的题目都做的很顺利，这次特意给我增加难度吧。但是，时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。青年绞尽脑汁，也想不出现有的数学知识对解开这道题有什么帮助。

困难激起了青年的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。

终于，当窗口露出一丝曙光时，青年长舒了一口气，他终于做出了这道难题！

见到导师时，青年感到有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题我做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”

导师接过青年的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这真是你自己做出来的？”青年有些疑惑地看着激动不已的导师，回答道：“当然，但是，我很笨，竟然花了整整一个通宵才做出来。”导师请青年坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，叫青年当着他的面做一个正17边形。

青年很快地做出了一个正17边形。导师激动地对青年说：“你知不知道，你解开了一道有两千多年历史的数学悬案？阿基米德没有解出来，牛顿也没有解出来，你竟然一个晚上就解出来了！你真是天才！” 多年以后，这个青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难题，我不可能在一个晚上解决它。”

这个青年就是数学王子高斯。有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好！

数阵图

你知道吗？读一读！

填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。

学一学，我能行！

把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。

先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E＝35，A＋E＋B＋C＋E＋D＝21×2＝42。

把两式相比较可知，E＝42－35＝7，即中间填7。然后再根据5＋9＝6＋8便可把五个数填进方格，如图b。

小试身手，练一练！

1.把1～10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。

2.把1～9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。

3.将1～7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。

4.把1～10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。

5.将1～9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。

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三阶幻方

说到九宫数和幻方大多数人都不陌生，在金庸先生著名的武侠小说《射雕英雄传》中就有郭靖在黄蓉的指导下为英姑指点九宫数的排列： “戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五居中央。”这当然只是金庸武侠小说中的一个小插曲。事实上根据《论说》和《星子》的记载，传说在约３０００年前的夏禹治水的时代有“神龟”背附神奇的星点图案出现在洛水，所以这个图案就被称为“洛书”。“洛书”上的星点图案用数字表示再引入方格图案便形成了后来的九宫格或九宫数。由于九宫数的数阵具有：“ 四正四维，皆合于十五”的特性，即三纵三横与对角三数相加之和都等于１５的特殊机理，在中国古代更有“纵横图”的说法，于是也就揭开了幻方研究的序幕。九宫数也就成为最具代表性的三三幻方，也是最早的幻方。而 “ 四正四维，皆合于十五”也就成为判定幻方的基本要素。

三阶幻方，幻和为15

　　是最简单的幻方由1,2,3,4,5,6,7,8,9

九个数字组成的一个三行三列的矩阵

4	9	2
3	5	7
8	1	6

　其对角线、横行、纵向的数字的和都为为15

　　想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角线上的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。

　　解：

　　上面是最简单的幻方，也叫三阶幻方。相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟”背上有美妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三阶幻方。

　　南宋数学家杨辉概括其构造方法为：“九子斜排。上下对易，左右相更。四维突出。”

　　公式

　 S=n(n ^2+1) /2

其中n为幻方的阶数，所求的数为S

植树问题

玩一玩，你发现了什么？

大家一起玩手指游戏。

请同学们先伸出两个手指，观察两个手指有几个间隔？接着伸出三个手指，有几个间隔？四个手指呢？……谁能发现手指数和间隔数之间的关系？

手指数=间隔数+1 间隔数=手指数－1

从生活中你还能寻找出类似手指这样存在间隔的事物吗？

同学们发现生活中楼与楼之间有间隔，路灯与路灯之间有间隔，树与树之间有间隔，像这些与间隔有关的问题在数学上我们称它们为植树问题。

学一学，我能行！

植树造林不仅可以绿化和美化家园，同时也可以起到扩大山林资源、防止水土流失、保护农田、调节气候等作用，是一项利于当代、造福子孙的宏伟工程。我们学校也打算种植一些树木美化环境。

（1）如果在学校门口20米的绿化带上种植杨树，要求株距相等（整米数），两端都种。你能设计出一种的种植方案吗？请同学们独立画图研究并填写在表格中：

路长（米）	株距（米）	段数（个）	棵数（棵）
20
20
20
20
20
20
通过观察表格中的数据，我发现了：

路的两端都要栽：路长÷间隔长＝间隔数

棵数=间隔数 + 1

（2）如果学校在两座间隔为20米的教学楼之间种梧桐树，又有哪几种不同的种植方案？

仿照上题的方法自己做一做，看看你发现了什么？

路的两端都不栽： 路长÷间隔长＝间隔数

棵数 = 间隔数－1

小试身手，练一练！

1、先画5个△，再在每两个△中间各画2个○，一共画了多少个○？

2、有8个同学排成一列，如果每相邻两个同学之间的距离是2米，从第一个同学到最后一个同学的距离是多少米呢？

3、刘翔共要跨过10个栏，栏间距离约是9米,你们知道刘翔从第一个栏到最后一个栏最少跑了多少米吗？

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“一端不植树”与“封闭图形”植树问题

我们刚才学习的植树问题是在路的“两端植树”和“两端都不植树”这两种情况，其实除此之外植树问题里还存在着其它情况和许多有趣的知识。

有时只需要在路的一端植树，那么棵数就比两端都植树时的棵树少一棵，即棵数和段数相等。如下图所示，把路长平均分成4段，但因为一头不植树，所以植树棵数就是4棵。即段数、棵数的关系是：

棵数 = 段数

有时在圆、正方形、长方形、闭合曲线等封闭图形上面植树，因为这时头尾两端会重合，也就是两端都植树的头尾两棵树重合在一起，这种情况就相当于一端植树，所以封闭图形植树的情况的棵数就等于分成的段数。如下图所示，把路长平均分成8段，但植树棵数还是8棵。则段数、棵数的关系也是：

棵数 =段数

生活中还有许多类似的实际问题，我们要在以后的学习中开动脑筋，积极思考才能找到解决问题的好方法。

扑克牌的学问

你知道吗？读一读

一、扑克牌的诞生

同学们，你们知道我们经常玩的扑克牌是什么时候出现又是谁发明的吗？

有人认为是经常出外经商的古代威尼斯商人发明了扑克牌，他们用扑克牌来计算日期和消遣娱乐；还有一些法国人认为扑克牌是在1392年时，一个学者专门为有精神病的法国皇帝却尔斯六世娱乐而设计的；国外还有人认为，扑克牌应是中国人发明的。因为在我国宋代时，民间就流行一种“叶子戏”的纸牌，他们认为这种纸牌是在明朝或宋、元时期，由商人、传教士传到国外去的，西方受此启发，才改制成现在流行的扑克牌。

扑克牌的诞生至今已有数百年的历史了，可到底是谁发明的又是何时出现的至今尚无定论。

二、扑克牌的秘密

小小的扑克牌设计十分奇妙，它的里面还有很多秘密呢！

54张牌中，大小王是副牌，共2张，分别代表太阳与月亮，其它52张牌表示一年有52个星期。

扑克牌中的J、Q、K共有12张，表示一年有12个月，又表示太阳在一年中经过的十二个星座。

扑克牌每个花色正好为13张牌，表示每个季度有13个星期。13张牌的点数加起来是91点，而每个季度的平均天数正好为91天。

4种花色点数之和是364，再加大王的一点为365，是一年的天数，若再加小王一点为366，正好是闰年的天数。

一年四季春、夏、秋、冬分别用黑桃、方块、梅花、红心来表示，其中黑桃、梅花代表黑夜，红心、方块代表白昼。一年中有一半是白天、一半是黑夜，所以扑克牌也是一半红的，一半黑的。

扑克牌中的四个花色还有不同寓意：黑桃表示橄榄叶，象征和平；红桃是心形，表示智慧；梅花傲霜雪，表现坚强(梅花是黑色三叶，源于三叶草)；方块表示钻石，意味着财富。四种花色寓意着人们在一年中的美好愿望。

看完以上的解说，你是不是感到很惊讶呢？

学一学，我能行

同学们，你们听说过24点游戏吗，你知道怎么玩吗？让我们先来认识这个游戏吧！

24点游戏就是两人任意出四张牌，运用加、减、乘、除算出24点，每张牌只能用一次。

比如说：两人出牌分别为5、3、6、9，那么运用加减乘除运算可得出：（5+3）×（9-6）=24或5×6＋3－9=24.

“巧算24点”能极大限度地调动眼、脑、手、口、耳多种感官的协调活动，对于培养我们快捷的心算能力和反应能力很有帮助。

小试身手，练一练

同学们，你也来试试“巧算24点”吧，相信你会很快喜欢上它的。

（1）同桌竞赛

同桌两人一人分一半牌，每局每人随机出2张，先算出24点的同学赢得桌上的4张牌，我们比一比，看谁先把对方的牌都赢来。

（2）小组比赛

以组为单位，抢答。先举手的人优先回答。答对一题加10分。方法不同的也可加分。分数多的组为优胜者。

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扑克牌中的人物

扑克牌中的字母也有特别的含义，如“K”指“国王”，“Q”指“王后”，“J”指“宫内的仆人杰克”。12张人头牌分别代表历史上某个人物：

黑桃K是公元前10世纪的以色列国王索洛蒙的父亲戴维，他善用竖琴演奏，并在圣经上写了许多赞美诗，所以黑桃K画面上经常有竖琴图样。

红桃K是查尔斯一世弗兰克国王，他叫沙勒曼，

是四张国王牌中唯一不留胡须的国王。

朱利亚·西泽，他是罗马的名将和政治家，统一了罗马后，当了罗马帝国的独裁者。他在罗马帝国硬币上的画像是侧面像。此后，在四张国王k牌里，只有红方块的国王是侧面像，其头发向内卷，手持战斧。

亚历山大王，是最早征服世界的亚历山大王，他的衣服总是佩带着配有十字架的珠宝，这是梅花k国王的特点，其头发向外卷。

是希腊智慧和战争女神帕拉斯·阿西娜，在四位皇后中，惟有此皇后手持武器。

名叫朱尔斯，她是德国巴伐利亚人，嫁给英国斯图尔特王朝的查尔斯一世。后来，查尔斯一世因实行残暴统治被处极刑，朱尔斯改嫁去了英国。

是莱克尔皇后，她是雅各布的女儿。雅各布是旧约《圣经》中约瑟夫的父亲，他共有12个儿子，在以色列建立了12个部族。这些人物制式逐步被各国所接受，一直沿袭至今。

寓意着这样一个故事：英国的兰开斯特王族以红色蔷薇为象征，约克王族以白色蔷薇为象征。两个王族经过蔷薇花战争后，取得和解，并把双方的蔷薇结在一起。所以这位皇后的手上就拿着蔷薇花。

红桃J为查尔斯七世的侍从拉海亚。

梅花J是阿瑟王故事中的著名骑士兰斯洛特。

黑桃J是查尔斯一世的侍从霍克拉

小彩票大奥秘

你知道吗？读一读。

同学们，你们知道这是什么吗？

近年来，彩票已逐渐走进我们的生活，大街小巷都有彩票站，大报小报设了彩票版，彩民谈彩随处可见。

彩票的历史可追溯到古罗马、古希腊时代。彩票在我国也已有近百年的历史。解放后，彩票在我国一度销声匿迹，直到1988年才由中国社会福利有奖募捐发行中心发行首期奖券，也即彩票。1989年发行了第一期福利彩票，1990年发行了第一套体育彩票。

自1994 年至 2000年，共发行了各种玩法、各类题材的体育彩票约149套，共898枚。

国家发行彩票的目的是筹集社会公众资金，资助福利、体育等社会公众事业发展，中国人民银行是彩票的主管机关。彩民买彩的目的是中奖，另一个重要目的是为老弱病残献出一份爱心作贡献。

常见彩票的种类（不包括地方省级彩票）

　　福彩全国联销的有： 3D ，双色球和七乐彩

体彩全国联销的有：排列3 排列5 大乐透 22选5 31选7和七星彩。足球彩票。

学一学，我能行！

在生活中，你买过彩票吗？你了解体彩“排列3”的玩法和里面的数学知识吗？

中国体育彩票“排列3”“直选投注”的具体玩法如下：购买者从0～9中选择3个数字（可重复）排列成一个3位数码。所选号码与中奖号码相同且顺序一致，则该注彩票中奖。

你知道这种彩票中奖机率是怎样计算出来的吗？

一般地，如果完成一件事需要n个步骤，其中，第一个步骤有m₁种不同的方法，第二个步骤有m₂种不同的方法……，第n个步骤有m_n种不同的方法，那么完成这件事共有N=m₁×m₂×……×m_n种不同的方法，这就是乘法原理。

要想组成三位数码，要分三步来完成：第一步，先选第一位数码，有0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，共10种；第二步，再选第二位数码（可重复），也是0～9这10种;第三步，第三位数码也是10种。由乘法原理，体彩“排列3”共有10×10×10=

1000种可能，而中奖号码只是其中的一种，所以体彩“排列3”“直选投注”的中奖机率是：一千分之一。

小试身手，练一练

我们一起玩一玩“排列5”,规则如下：从0～9中选择5个数字（可重复）排列成一个5位数码；如果所选的5位数号码与摸奖号码完全相同且排列一致，即中奖。

同学们亲身体验一下从选号到摇奖的全过程：每个同学写好一组5位数码即你选定这个数码，写好后同桌交换公正，想一想，你中奖的机率是多少？

老师摸球产生一个5位数码进行现场开奖。

开始摸奖，第一位5，第二位8，第三位1，第四位0，第五位8。中奖号码为：58108

你中奖了吗？有何感想？

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彩票开心辞典
彩票：一张暂未签上日期、时间通往黄金彼岸的船票。
摇奖机：一台透明的、公开的高速印钞机。
彩球：滚动着希望，跳动着失望，牵动着心脏的魔球。
中奖号：似曾相识却又不愿归来的小燕子。
单式：小本经营却如蜻蜓点水自由自在。
复式：是一位在承包区撒网，企图一网打尽的勇士。
彩迷：一群乐在其中的长途跋涉者。
彩论：一份绞尽脑汁，想方设法钻进摇奖机的探险计划。

彩票的发展与未来

随着各国彩票业的发展，国际彩票组织应运而生。目前世界上有两大世界性彩票组织：Intertoto（国际彩票组织）和AILE（国家彩票组织国际协会）。此外还有些洲际彩票组织和地区性彩票组织。Intertoto的总部设在瑞士，而AILE的总部设在加拿大。两大彩票组织的宗旨均为促进会员组织间的学术和经验交流，保持良好的和睦关系。
　　世界未来彩票发展的趋势如何，各国彩票和经济专家作过不少预测。对起步尚晚的彩票组织来说是完善制度和立法，扩大品种和规模；对发达的彩票国家来讲则是挖掘潜力，由一国彩票到多国彩票；由手工彩票到计算机联网彩票；由现金彩票到信用卡彩票；由出门购买到居家购买等等。但彩票不论如何发展，都应以信誉为本。建立在信誉之上的彩票才能有生命力，才能起到源于社会、用于社会的作用。

你还想了解更多的彩票知识吗？请上网搜搜吧！

练一练答案：体彩“排列5”的中奖可能共10×10×10×10×10=100000种，中奖的几率是：十万分之一。

和倍问题

你知道吗？读一读

【和倍问题】：涉及两个数的和倍问题是指已知大小两个数的和及它们的倍数关系，求这两个数。最基本数量关系：

和÷（倍数+1）=小数小数×倍数=大数

学一学，我能行

【题目1】：

一个长方形的周长是36厘米，长是宽的2倍，这个长方形的面积是多少平方厘米？

【解析】：

先求出长方形长和宽的和：36÷2=18（厘米）；

把长方形的宽看作1份，长就是2份，长和宽的和对应的就是3份，所以长方形的宽是：18÷（2+1）=6（厘米）；

长是：6×2=12（厘米）；

这个长方形的面积是：12×6=72（平方厘米）。

【题目2】：

北京路小学的同学为幼儿园的小朋友做红花和黄花共300朵。已知红花的朵数比黄花的2倍少30朵。问两种花各有多少朵？

【解析】：

我们把黄花朵数看作一份，画出线段图如下：

从线段图中可以看出，两种花的总和再添上30朵，正好对应了3份。所以黄花朵数为：

（300+30）÷（1+2）=110（朵）。

红花朵数为：300-110=190（朵）。

小试身手，练一练

【题目1】：

被除数、除数、商3个数的和是212。已知商是2，被除数和除数各是多少？

【题目2】：

5箱苹果和5箱葡萄共重75千克，每箱苹果是每箱葡萄重量的2倍。每箱苹果和每箱葡萄各重多少千克？

【题目3】：

甲、乙、丙3数之和是183，乙比丙的2倍少4，甲比丙的3倍多7，求甲、乙、丙三数各是多少？（画图试试吧）

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同学们，和差倍问题是指已知几个数的和、差或它们的倍数关系（其中的两项），求这几个数的应用题。包括和倍问题、差倍问题、和差问题这三类应用题，及可以转化为这三类应用题的比较复杂的倍数问题。这几类应用题有比较相似的数量关系和解题思路，列方程来解非常简单，但我们没有学过方程法解题，需要根据数量关系逆向推理，列综合算式解答。教学中常常采用画线段图的方法来分析各种数量间的关系，帮助理解题意，寻找解题途径。

解题关键是，要在题目中确定一个数量为标准（常以最小数为标准，即1倍量），把标准量看作一份，再根据其它数量与标准量的倍数关系，找出几个数量的和、差或（和+差）、（和-差）对应的份数，通过除法计算先求出标准量，再算出其它相关数量。

菜谱中的数学——排列组合

你知道吗？读一读

提起中国餐饮艺术很多外国人赞叹不已，去中国餐馆吃饭其中一件最让他们觉得奇怪的事情是：餐馆里菜牌是那么的厚，里面几乎有几百样的菜，然后当你点菜之后，你会发现这些菜都能够很迅速的在几分钟之内上桌，这跟一般去一个西餐厅吃饭的感觉是完全不一样。因为在一个西餐厅吃饭的话，你会发现这个菜牌一般来讲都是尽量精简，然后上菜的时候也都会比中餐馆慢的很多，这中间是不是有什么玄机呢？

中国菜最大的奥秘在哪里？其实就是那几种材料，那几种烹制的方法。然后把这些不同的材料、不同的烹制方法组合来、组合去， 里面好像很多菜，但其实他们的做法往往是大同小异的，大厨师也惯把中国菜分成不同的部件、不同的部分，不同的构成的部分，再把它们拼凑、组合，好像是变化无穷，然而，万变不离其中，总是依赖于几种基本的模式把它组合出来的。

学一学，我能行

同学们，今天我们也来试着做一次营养师吧。现有面包、油饼、蛋糕三种主食；豆浆、牛奶、奶茶三种饮料，（1）如果把一种主食和一种饮料搭配成一份早餐，有多少种搭配方法？（2）如果把两种主食和一种饮料搭配成一份早餐，有多少种搭配方法？

请同学们在小组讨论搭配方法。

温馨提示

先讨论解决方案，注意没有遗漏和重复。

从图中我们知道都有9种不同的搭配，像这种与顺序无关的问题我们就把它叫做组合。上面问题中的每一份早餐就是一个组合。

同学们喜欢看动画片《喜洋洋与灰太狼》吧，有一天，喜洋洋、美洋洋、和懒洋洋一起去郊游，美洋洋提议：我们三位站成一排玩儿拍照游戏，喜洋洋说：“拍照之前，我们先算一算有多少种站法？比一比看谁算的快。”懒洋洋抢答到：“只有3种站法”，喜洋洋和美洋洋同声说：“懒洋洋回答错误，应该有6种不同的站法！”(请同学们算一算有多少种不同的站法？)

正当大家玩的高兴的时候，沸洋洋和慢羊羊来了，也要加入照相的游戏，看见村长来参加游戏，大家特别高兴，但是游戏的开始仍然是先算出有多少种不同的站法，并且慢洋洋提出：“我慢洋洋岁数大了，只站中间不动。”

注意慢洋洋只站中间呦！

温馨提示

……

24种站法

我也认为是24种站法。

12种站法

请同学们也算一算，有多少种不同的站法？

像这样与站队顺序有关的问题，就是排列。

排列与组合的不同：排列是按照一定的顺序排成一列，组合是无论怎样的顺序并成一组，因此“有序”与“无序”是区别排列与组合的重要标志。

小试身手，练一练

1、有4个同学一起去郊游，照相时，必须有一名同学给其他3人拍照，共可能有多少种拍照情况？（照相时3人站成一排）

2、某班毕业生中有4名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？

3、掷3个骰子，算一算三个骰子最上面一个面出现的点数之和  有多少种情况？

4、用0、1、2、3、四张卡片，

（1）能组成多少个两位数？（2）能组成多少个两位数偶数？

（3）能组成多少个三位数？（4）能组成多少个三位数奇数？

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中国艺术创造之排列组合秘密

 
 
秦朝兵马俑场面宏大，威风凛凛，队列整齐，展现了秦军的编制、武器的装备和古代战争的阵法。秦兵马俑皆仿真人、真马制成。陶俑身高1.75米～1.95米，多按秦军将士的形象塑造，体格魁伟，体态匀称。陶俑又按兵种的不同分为步兵俑、骑兵俑、车兵俑、弓弩手、将军俑等。步兵俑身着战袍，背挎弓箭；骑兵俑大多一手执疆绳，一手持弓箭，身着短甲、紧口裤，足蹬长统马靴，准备随时上马拚杀；车兵俑有驭手和军士两种，驭手居中，驾驭着战车，军士分列战车两列，保护驭手；弓弩手张弓搭箭，凝视前方，或在立姿，或在跪姿；将军俑神态自若，表现出临阵不惊的大将风度。陶马高1.5米，长2米，体形健硕，肌肉丰满，昂首伫立，鬃毛分飞，表情机警敏捷，匹匹都像是奔驰战场的骏马。这些都显示了秦始皇威震四海、统一六国的雄伟军容，表现了极高的造型艺术，是世界上独一无二的文化艺术宝库。

 
 
兵马俑看起来很像，但仔细看你会发现每一个兵马俑，这些兵俑他们样貌都是不同的。但是请注意，这些兵俑他并不是真的是写实的，拿着一个活生生的秦兵照着他的样貌去刻划；相反的我们能够数出原来那么多的兵马俑，那些兵俑，他们的脸形大概就只有八种。然后他胡子又给分好几种，头发又分好几种。如此一来，我们就把这几种胡子、几种脸形、几种的这种发型，拼来拼去就拼出了好像是千变万化的这一大片的秦兵的兵马俑。

同学们想一想，在生活中还有哪些地方用到了排列组合？把你的发现告诉同学们。

格点与面积

你知道吗？读一读

如下图，在一张由一组水平线和一组垂直线组成方格纸上，如果任意相邻平行线之间的距离都相等，我们就把这样两组平行线的交点称为格点（如下图中的红点），把图中相邻两个格点的距离看着一个单位长度，把每个小正方形的面积看作一个面积单位（如图中带阴影的方格）。

一个多边形的顶点如果全是格点，这个多边形就叫做格点多边形，下面就介绍求格点多边形的面积问题。这种格点多边形的面积计算起来很方便，一般有三种方法：①规则的格点多边形，可以运用多边形的面积公式求出面积；②一些简单而又特殊的格点多边形，可以通过数格子求出面积；③较复杂的不规则图形，一般用皮克公式计算。其中数格子的方法比较原始，很少用。

任意格点多边形，只要数出多边形周界上的格点的个数及图内格点的个数，就可用下面的皮克公式算出面积：

格点多边形面积=图内格点个数+周界格点数÷2-1

这个公式是皮克(Pick)在1899年给出的，被称为“皮克定理”，这是一个实用而有趣的定理。

学一学，我能行

【题目1】：求右边各图形的面积。

【解析】：

图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；

图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；

图③是个三角形，周界上有6个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图③的面积为：4+6÷2-1=6；

以上3个图形都是规则图形，但我们还没有学过这3种图形的面积计算，不能用面积公式计算。

图④是个六边形，周界上有8个格点，图内有9个格点，根据格点面积公式，图④的面积为：9+8÷2-1=12。

这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。

【题目2】：

下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？

【解析】：

这三个图形都适合用格点面积公式计算面积。

喇叭周界上有8个格点，图内没有格点，面积为：0+8÷2-1=3；

小猫周界上有20个格点，图内有2个格点，面积为：2+20÷2-1=11；

小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。

躯干面积：0+12÷2-1=5；

尾巴面积：0+4÷2-1=1；

总面积：5+1=6。

像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。

小试身手，练一练

【题目】：下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。

【题目2】：你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？

图中有8个三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；可以用皮克公式算出每个图形的面积。

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皮克定理的证明

将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：

周界格点数÷2-1

所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。

合理安排

你知道吗？读一读

合理安排是统筹规划问题，即在完成多个任务时，设计出最优化的解决问题的方案，合理安排工作顺序可以提高效率。

统筹方法在日常生活、生产或科学研究中常常用到。中国当代著名数学家华罗庚，在《统筹方法》一文中，通过一个浅显的例子，从时间安排上，介绍了统筹方法的应用价值，其实统筹方法在很多领域都有广泛的应用。

学一学，我能行

【题目1】：

假设烙一个馅饼需要4分钟（每一面需要2分钟），1个烙饼锅每次正好可以烙两个馅饼，要烙97个馅饼至少需要多少个分钟？

【解析】：

根据题中条件，联系生活实际，可知，每两个馅饼一组烙好需要4分钟。97个馅饼可以分成48组（97÷2=48……1），如果先烙好前48组，还剩下1个馅饼，烙最后一个馅饼也需要4分钟，但因为只有一个饼，所以空了半边锅。要想节省时间，只能合理利用那空着的半边锅。

97个馅饼，每两个一组，我们可以先烙好47组后，把剩下3个饼作为一组，这3个饼可以这样烙：先用2分钟烙好第一个馅饼和第二个馅饼的正面，再用2分钟烙好第一个馅饼反面和第三个馅饼的正面，最后用2分钟烙好第二个馅饼的反面和第三个馅饼的反面。烙3个饼子只需要6分钟。

所以烙97个馅饼至少需要时间：47×4+6=194（分钟）。

【题目2】：

小红中午放学回家煮饭。淘米要3分钟，煮饭要25分钟，洗菜要8分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅子和炉子。小红要将饭、菜都煮好，最少需要多少分钟？

【解析】：

解题前先要分析，要做的这些事，有些事有先后顺序、不能同时做的，例如必须要先淘米再煮饭；而有些事是可以同时做的，例如煮饭一般不需要人看的，而且煮饭、炒菜用不同的锅和炉子，所以煮饭、烧菜可以同时进行。可以列出如下表格：

小红可以先淘米再煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜、烧菜，最少需要时间：3+25=28（分钟）。

【题目3】：

10个人各提1只水桶，同时到水龙头前打水。设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，依此类推，注满第几个人的桶就需要几分钟。如果只有一只水龙头，适当安排这10个人的顺序，就可以使每个人所费时间的总和尽可能小，问这个总费时至少是多少分钟？

【解析】：

每个人所费时间包括这个人打水的时间和等待的时间。10个人的总费时指的是10个人打水时间和等待时间的总和。

按照打水的先后顺序，我们把10个桶依次编号为一号、二号……十号。则一号桶打水时，有9个人等待，一号桶打水，总费时为打水时间的10倍；二号桶打水时有8个人等待，二号打水总费时是打水时间的9倍；依次类推，十号桶打水时，无人等待，只有打水人费时是打水时间的1倍。总费时是：

一号桶注水时间×10+二号桶注水时间×9+……+九号桶注水时间×2+十号桶注水时间

要使总费时最少，显然应该按注水时间从少多的顺序，安排先后顺序，尽可能让注水时间短的先打水，这个总费时至少是：

1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=220（分钟）。

小试身手，练一练

【题目1】：

小红煎鸡蛋，两面都要煎，每面只需要一分钟，一个锅一次只能前两个。煎5个蛋至少需要多少时间？6个呢？7个呢？8个呢？

【题目2】：

三个旅游团同时取旅游，分别有84、97、58人，要求其中一个旅游团乘大车，一个乘中巴车，另一个乘小车，已知小、中、大车分别能容纳12，14，17人，每种车每辆收费分别为75元、85元、100元。那么这三个旅游团一共至少要花多少元车费？

（每辆车的收费是固定的，空位越少，人均费用就越低，三个团对应的选择3种车，应尽可能的使空位少。）

【题目3】：

在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个仓库（如下图），1号仓库存10吨货物，2号仓库存20吨货物，5号仓库存40吨货物，其余两座仓库空着。现将所有货物集中存放，如果每1吨货物运1千米，运费为0.5元，那么最少要多少元运费？

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统筹方法，是一种为生产建设服务的数学方法。它的实用范围极为广泛，在国防、在工业的生产管理中和关系复杂的科研项目的组织与管理中，皆可应用。

比如，想泡壶茶喝。当时的情况是：开水没有。开水壶要洗，茶壶茶杯要洗；火已升了，茶叶也有了。怎么办？

办法甲：洗好开水壶，灌上凉水，放在火上；在等待水开的时候，洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶；等水开了，泡茶喝。

办法乙：先做好一些准备工作，洗开水壶，洗壶杯，拿茶叶；一切就绪，灌水烧水；坐待水开了，泡茶喝。

办法丙：洗净开水壶，灌上凉水，放在火上；坐待水开，开了之后急急忙忙找茶叶，洗壶杯，泡茶喝。

哪一种办法省时间？谁都能一眼看出，第一种办法好，因为后二种办法都“窝了工”。

这是小事，但这是引子，引出一项生产管理等方面有用的方法来。

开水壶不洗，不能烧开水，因而洗开水壶是烧开水的先决问题，没开水、没茶叶、不洗壶杯，我们不能泡茶。因而这些又是泡茶的先决问题。它们的相互关系，可以用以下的箭头图来表示：

从这个图上可以一眼看出，办法甲总共要16分钟（而办法乙、丙需要20分钟）。如果要缩短工时、提高工作效率，主要抓的是烧开水这一环节，而不是拿茶叶这一环节。同时，洗壶杯、拿茶叶总共不过4分钟，大可利用“等水开”的时间来做。

是的，这好像是废话，卑之无甚高论。有如，走路要用两条腿走，吃饭要一口一口吃，这些道理谁都懂得，但稍有变化，临事而迷的情况，确也有之。在近代工业的错综复杂的工艺过程中，往往就不能像泡茶喝这么简单了。任条多了，几百几千，甚至有好几万个任务；关系多了，错综复杂，千头万绪，往往出现“万事俱备，只欠东风”的情况，由于一两个零件没完成，耽误了一架复杂机器的出厂时间。也往往出现：抓得不是关键，连夜三班，急急忙忙，完成这一环节之后还得等待旁的部件才能装配。

逻辑推理初步

你知道吗？读一读！

一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？

学一学，我能行！

在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。

也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。

所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。

在这个案例中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。

因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。

小试身手，练一练

1. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学是＿＿，最矮的同学是＿＿。

2. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老师将照片从1到4编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学生回答如下；第一个学生：2号是桃树，3号是李树；第二个学生：1号是梨树，2号是杏树；第三个学生：2号是桃树，4号是梨树；第四个学生：4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了一半，那么，1号是＿＿，2号是＿＿，3号是＿＿，4号是＿＿。

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为科学而疯的人

由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他*着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，1厘米长的线段内的点与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”，后来几年，康托尔对这类“无穷集合”问题发表了一系列文章，通过严格证明得出了许多惊人的结论。

康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。

真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。1918年1月6日，康托尔在一家精神病院去世。

康托尔(1845—1918)，生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础

苹果与抽屉

你知道吗？读一读

简单来说：桌上有5个苹果，要把这5个苹果放到4个抽屉里，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个、三个，甚至放五个，但无论怎样放，至少有一个抽屉里面至少放两个苹果。这个道理就是我们所说的抽屉原理。

学一学，我能行

【题目1】：某校中年级有367名学生，都是1992年出生的，老师不用查学生登记表，就能断言：“至少有2名学生在同一天过生日”，你知道为什么吗？

【解析】：1992年闰年，全年有366天，我们把366天看作366个抽屉，367名学生看作367个苹果，367个苹果放到366个抽屉里，至少有一个抽屉里有2个苹果，即至少有2名学生在同一天过生日。

【题目2】：在一条长50米的小路一旁栽51棵树（小路有一端不栽树）。有人说：“不管怎么栽，我一定能找到两棵树，它们之间的距离不超过1米。”他说得对吗？

【解析】：这个人说得是对的。

我们从小路的一端开始栽树（可辅以画图），没隔1米栽一棵，显然栽到第51棵，恰好在小路的另一端。因为“小路有一端不栽树”，因此最后一棵树只能往开始的一端移动，无论移到哪儿，一定可以找到一棵树，与这棵树的距离不超过1米。

【题目3】：把54朵小红花分给10个小朋友，能不能使每个小朋友都有花，但花的朵数互不相同，为什么？

【解析】：不能。

每个小朋友都有花，分得最少的小朋友至少分到1朵花，则其他小朋友依次最少分得2、3、4、5、6、7、8、9、10朵，所以10个小朋友至少需要花：

1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（朵）

54朵小红花不够分。

【题目4】：学校买来历史、文艺、科普3种图书各若干本，每名学生从中任意借2本，那么最少在多少名学生中，才一定能找到两人所借图书的种类完全相同？

【解析】：在3种图书中任意借2本，借出图书的种类共有6种可能：①历史、历史②文艺、文艺③科普、科普④历史、文艺⑤历史、科普⑥文艺、科普。我们把这6种可能看作6个抽屉，最少需要7名学生，才一定能出现两人所借图书的种类完全相同。

小试身手，练一练

【题目1】：木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？

【题目2】：一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？

【题目3】：一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？

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关于抽屉原理的简要介绍

抽屉原理也称为鸽巢原理：如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来的，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。

抽屉原理的一般含义：用每个抽屉代表一个集合，用每一个苹果代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。

原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。

原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。

原理3：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。

原理4：把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。

抽屉原理虽然简单，但它可以解答很多有趣的、不同难度的问题，尤其是许多有关存在性的证明都可用它来解决。但运用抽屉原则只能证明“存在”、“总有”、“至少有”的现象，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。

奇数和偶数

你知道吗？读一读！

一个整数，如果能被2整除，就称它为偶数，一般用2k表示（k为整数）；如果不能被2整除，则称它为奇数，一般用2k＋1表示（k为整数）。这样，所有的整数就被分成了奇数与偶数两大类。

奇数和偶数有许多性质，常用的有：

1．两个整数和的奇偶性。

奇数＋奇数=偶数奇数＋偶数=奇数偶数＋偶数=偶数

一般的，奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数，任意个偶数的和为偶数。

2．两个整数差的奇偶性。

奇数―奇数=偶数奇数―偶数=奇数

偶数―偶数=偶数偶数―奇数=奇数

3．两个整数积的奇偶性。

奇数×奇数=偶数奇数×偶数=偶数偶数×偶数=偶数

一般的，在整数连乘当中，只要有一个因数是偶数，那么其积必为偶数；如果所有因数都是奇数，那么其积必为奇数。

4．两个整数商的奇偶性。

在能整除的情况下，偶数除以奇数得偶数，偶数除以偶数可能得偶数，也可能得奇数，奇数不能被偶数整除。

5．如果两个整数的和或差是偶数，那么这两个整数或者都是奇数，或者都是偶数。

6．两个整数之和与两个整数之差有相同的奇偶性，即：A＋B、A－B奇偶性相同（A、B为整数）。

7．相邻两个整数之和为奇数，相邻两个整数之积为偶数。

8．奇数的平方被4除余1，偶数的平方是4的倍数。

巧妙地运用奇数与偶数的性质，可以解决很多数学问题。

学一学，我能行！

例：99个连续自然数的和是奇数还是偶数？

思路点拨：

99个连续自然数，我们并不知道它们分别是多少，也就无法具体求出它们的和。

但是我们可以思考99个连续自然数中包含有几个奇数、几个偶数。要分两种情况来考虑，一是最小的数是奇数；而是最小的数是偶数。

如果最小的数是奇数，那么一共有50个奇数，49个偶数。因为偶数个奇数的和是偶数，偶数加偶数的和为偶数，所以这种情况下结果是偶数。如果最小一个数是偶数，那么一共有50个偶数，49个奇数。虽然50个偶数相加还是偶数，但49个奇数相加是奇数，奇数加偶数的和是奇数，所以，这种情况下结果是奇数。

答：99个连续自然数相加，和可能是奇数，也可能是偶数。

例：算式1×2+3×4+5×6+……+99×100的和是奇数还是偶数？

思路点拨：

首先我们观察加数，即两个数的乘积是奇数还是偶数。相邻两个自然数相乘，积是偶数，偶数加偶数结果还是偶数最后的和也必是偶数。

答：和一定是偶数。

小试身手，练一练！

1、有20个连续自然数，第一个是3，最后一个是奇数还是偶数?这20个自然数相加的和是奇数还是偶数？

2、有一组数：1,2,3，5,8,13,21,34……这组数的前50个数中有多少个奇数？

3、如果在7个连续偶数中，最大数恰好是最小数的3倍，那么最大的数是几？

4、41名同学参加竞赛，共20道题。评分方法是：基础分15分，答对一题得5分，不答得1分，答错1题倒扣1分。请问所有参加竞赛的同学得分的总和是奇数还是偶数？

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黑洞数

“黑洞”是现代科学的一大课题，人们至今还不十分清楚它的本质。

通俗一点讲，黑洞就是对任何物质只进不出的天体，它的密度大得不可思议。在银河系的中心，就有一个大黑洞。奇妙的是，数学里居然也有黑洞数，而且品种繁多，不止一个。下面就介绍最简单的一种——西西弗斯数。

相传，西西弗斯是古希腊时一个暴君，死后被打入地狱。此人力大如牛，颇有蛮力，上帝便罚他去做苦工，命令他把巨大的石头推上山。他自命不凡，欣然从命。可是将石头推到临近山顶时，莫明其妙地又滚落下来。于是他只好重新再推，眼看快要到山顶，可又“功亏一篑”，石头滚落到山底，如此循环反复，没有尽头。现在随便选一个很大的数，作为一块“大石头”43005798。我们以此为基础，按如下规则转换成一个新的三位数。百位数是8位数中的偶数个数（0作为偶数），十位数是8位数中奇数的个数，个位数是原数的个数。于是得出新数为448，448作同样的变换，3个偶数，百位数是3，奇数有0个，一共3位数。于是就得出303，再经转换就得到123。一旦得到123后，就再也不变化了。好比推上山的石头又落到地上，一番心血付诸东流。

如果你不相信，那么，就请你换上别的自然数来试一试。尽管步数有多有少，但最后总归得到123，这是一条金科玉律。

如2007630。偶数个数为5，奇数个数为2，一共7位数，则得新数为527，结果还是百位数为1（有1个偶数），十位数为2（奇数个数为2）。一共3位数，最后还是进入“黑洞数”123。

有人不服气，心想西西弗斯既然没有本领把大石头推上山，带一块小石头总可以吧。此人不知道“黑洞”的厉害，不信123这个禁区不不能突破，于是他选了个1来试一试。根据上面的变换规则，百位数为0（无偶数），十位数即奇数为1，只有1位数，即为011，经过变换，最后还是黑洞数123。

看来，铁面无私的123，对谁都不买账！

周期问题

你知道吗？读一读

在日常生活中，有很多现象会按照一定的规律不断地循环往复，比如一日三餐、每周七天、一年四季、日出日落、月圆月缺、潮涨潮落等等；在数学中，一些数和图形的排列、变化等也有周而复始重复出现的规律性问题。我们把这些按一定顺序依次不断地、重复出现的规律性问题统称为周期问题。

学一学，我能行

【题目1】：

把1～100号的卡片依次发给小红、小芳、小华、小明四个人。已知1号发给小红，16号发给谁？38好呢？

【解析】：

由题意得，这题的周期是4，每个周期内，4人的排列顺序是：小红、小芳、小华、小明。

16÷4=4；

38÷4=9……2。

16号排在第4组的最后一个，38号排在第10组的第2个。因为每组的排列顺序都是一样的，所以16号发给了小明，38号发给了小芳。

【题目2】：

有同样大小的红、白、黑珠共90个，按先3个红的，后2个白的，再1个黑的顺序排列。这其中白珠共有多少个？第68个珠子是什么颜色？

【解析】：

珠子的排列周期是：3+2+1=6，即6个一组重复排列，每组第一、二、三颗是红珠子，第四、五2颗是白珠子，第六颗是黑珠子。

90÷6=15（组）

所以90个珠子中有白珠子：15×2=30（颗）。

68÷6=11（组）……2（颗）

所以第68颗珠子排在第12组的第2颗，每组的第2颗都是红珠子。

小试身手，练一练

【题目1】：

如图所示，每列上、下一个字和一个字母组成一组，例如，第一组是（我，A），第二组是（们，B）,第62组是什么？

我

们

爱

科

学

我

们

爱

科

学

我

们

……

【题目2】：

10个2连乘的积的个位数字是几？

（提示：先从1个2开始，列举出一部分积的情况，探索规律，再按规律推理计算。）

【题目3】：

把自然数按下图的规律排列后，分成A，B，C，D，E五类，例如，4在D类，10在B类。那么，2006在哪一类？

A	B	C	D	E
1 9 17 …	2 8 10 16 18 …	3 7 11 15 19 …	4 6 12 14 20 …	5 13 …

【题目4】：

如果一串小彩灯按下图的顺序不断闪动，其中数字表示小彩灯排列序号，△，□，○分别表示该灯为红、绿、蓝色。

那么从426号到428号小彩灯的排列与彩色模式为下图中的＿＿。

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“周期”原意是指，事物在运动、变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间。在这里，我们把周期问题中按一定规律排列的一组对象的个数，叫作它们的变化周期。如季节变化的周期是4，日夜更替的周期为2等等。

要解决这类问题，关键要抓住两点：

第一、发现规律，找出周期及每个周期内各个对象的排列顺序。

第二、用对象总个数除以周期，看商和余数。商表示总个数里包含的完整周期的个数；余几，最后一个对象就与每个周期里的第几个对象相同，没有余数时，最后一个对象就和每个周期的最后一个对象相同。

解答周期性问题，需要有较强的观察能力，往往从起始位置开始，看经过多少步以后又回到起始位置，从而发现变化规律及变化周期。对于一些较复杂的周期问题，可以借助画示意图或列举部分对象等直观方法寻找周期变化的规律。

最大与最小

你知道吗？读一读！

在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：

1.枚举比较法。当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；

2.着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

学一学，我能行！

例1.把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。问这个和最大值是多少？

分析：为了方便描述，我们把图中部分三角形注上字母，从图中可以看出：中心处D中填的数和三条边上的和没有关系，因此，应填最小的数1。而三个角上的a、b、c六个三角形中的数都被用过两次，所以要尽可能填大数，即填11——16。然后根据“三角形三边上7个小三角形内数的和相等”这一条件，就可以计算出这个和的最大值了。（2＋3＋4＋…＋16＋11＋12＋13＋14＋15＋16）÷3＝72

小试身手，练一练！

1、将1、2、3、4、5、6六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

2、将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？

3、把～8分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

4.把2～9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

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X 等于几

今日，江苏省江都市一对夫妻急匆匆来到该市行政服务中心公安窗口求助。他们说，别人的身份证号码的尾数都是数字，他们女儿的身份证号码尾数竟是X，到工作单位办理手续，单位不给办，说身份证号码不可以含糊。这对夫妇请工作人员一定要帮他们弄清楚X等于几。

这究竟是怎么一回事呢？

原来从1999年10月1日起，公安部门启用了更为科学的18位身份证号码。根据有关规定，公民身份证号码是特征组合码，由17位数字本体码和1位数字校验码组成。即：

地址码（6位）+出生日期码（8位）+顺序码（3位）+校验码（1位）=身份证号码（18位）

身份证号码的尾数（第18位）叫做校验码，它是根据前面的17位数字码，由号码编制单位的电脑系统按照统一的公式自动计算生成并自动识别的用于检验的号码，也就是机器识别码。

电脑计算出的校验码共11个：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。其中10是两位数，如果直接用10做尾数，一些公民的身份证号码就变成了19位，因此，在编制身份证号码时用X来代替校验码“10”。注意：X不是数学方程中表示未知数的“x”，而是一个罗马数字。在罗马数字中，X表示“10”。

身份证号码升位后，有一些公民身份证号码的尾数是X，他们在去银行存取钱、去汽车租赁公司租汽车、报名参加考试等过程中，常常被认为是假身份证。这样的误会的确给一些人的生活带来不便。公安机关希望身份证号码尾数是X的公民正确理解这个数字的含义，查验身份证的机关和单位更应该了解这一常识。

听了这番解释后，这对夫妇如释重负，知道原来单位的工作人员没有搞清X的意义，决定回去后向他们好好解释一下。