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容斥原理
读一读！你知道吗？
当两个计算部分有包含重复时，应从它们的和中减去重复部分，才可能是正确的结果。这种数学原理，我们称为包含排除原理，即“容斥原理”。正确运用该原理，可以帮助我们解答很多有趣的数学问题。
学一学，我能行！
某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？
[分析]根据题意，会下棋的有48人，说明不会下棋的有52-48=4（人）；会画画的有37人，说明不会画画的有52-37=15（人）；会跳舞的有39人，说明不会跳舞的有52-39=13（人）。
那么，三项中有一个项目不会的人最多有4+15+13=32（人）。这样，我们就可以求出至少三项都会的人数。
解：52-48=4（人）
52-37=15（人）
52-39=13（人）
52-（4+15+13）=20（人）
答：这三项都会的至少有20人。
小试身手，练一练！
在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？
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章鱼有几条腿？
章鱼有几条腿？同学们看了这个问题一定会觉得好笑，章鱼又叫“八爪鱼”，章鱼当然有8条腿啦，恭喜你！答对了。但是如果问你，章鱼的八条腿是如何分工的，几条用来抓东西（手），几条用来走路（脚）？你一定答不上来。科学家的研究结果是：章鱼有6只手，2只脚。这个结论是科学家通过观察章鱼玩“玩具”、捕食等行为得出来的。观察是探索世界的重要方式，伟大的昆虫学家法布尔就是通过不懈地观察，写出不朽的著作《昆虫记》（强烈推荐！）。希望同学们平时能睁大你们的慧眼，多观察，多发现！
龟背上的洛书——三阶幻方
读一读！你知道吗？
据说，大约公元两千年时，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人民的生活与生产。于是，大禹日夜奔忙，曾三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河流，驯服了河水，感动了上天。当时，一只龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹，图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书。
洛 书
洛书在我国历史上曾叫做九宫图，也叫做纵横图，后来人们称它为幻方。现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。由于它是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
洛书上的三阶幻方是从一至九，九个数字的排列，有二个明显特点，一是奇数1、9、3、7占北、南、东、西四征位；偶数2、4、6、8均占斜位，即西南、东南、西北、东北；二是，不论沿正方位还是沿对角线，每三个数字都等于是15。
幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外许多大数学家、大学者如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣。我国宋代数学杨辉是世界上第一位研究幻方的数学家，他比外国人研究幻方早了两千多年。
人们因它的性质之独特而大感兴趣，对其进行了多方面的研究。随着时代发展，出现了四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方……在现代生活中，幻方在计算机程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等方面有广泛的应用。
学一学，我能行！
洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方。三阶幻方，是最简单的幻方 。
1、下面就请同学们把1—9这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角在线三个数的和都等于15。
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想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角在线的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
用1—9这九个自然数组成三阶幻方的方法很多，共有下面八种填写方法：
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4 |
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3 |
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3 |
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6 |
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4 |
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2 |
7 |
6 |
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9 |
5 |
1 |
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4 |
3 |
8 |
你能根据这些幻方具有哪些特征？
三阶幻方的特征：
（1）、幻和=中间数×3
（2）、与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2
（3）、角上的数字=对角相邻的两数字和÷2
2、除了上面的方法外，有一种方法能很快地填出三阶幻方，就是用数学家杨辉总结的三阶幻方构造方法： “九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。” 来填写，那么把1—9这九个自然数填在三阶幻方里就可以按照下图填写：
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纵横图 |
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九宫图 |
注意：九个数斜排的时候，要按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
（1）、请同学们用上面这种方法把3—11这九个自然数填在三阶幻方里。
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6 |
11 |
4 |
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5 |
8 |
9 |
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10 |
3 |
8 |
（2）、我们不仅能用自然数排成幻方，还可以用分数、小数排出幻方。下面就请同学试一试，把0.8—1.6这九个小数填在三阶幻方里。
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1.1 |
1.6 |
0.9 |
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1.0 |
1.2 |
1.4 |
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1.5 |
0.8 |
1.3 |
小试身手，练一练！
1、把下面幻方补完整。
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2 |
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4 |
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5 |
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6 |
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0.3 |
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0.4 |
0.6 |
0.8 |
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0.2 |
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2、用15——23填写一个三阶幻方。
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0.6 |
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0.9 |
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0.1 |
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0.8 |
3、下面就是一个由0.1——0.9填写的幻方，
你能试着把它填写完整吗？
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三阶幻方还有下面的解法：
（1）口诀法
一填首行正中央，依次斜排切莫忘，
上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交*位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
（2）四角定位法
九数从小排到大，中间数字中间填，
四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：
四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；
四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；
当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；
（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；
（3）以上介绍的两种填写三阶幻方的方法，其中后面一种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
最大与最小
读一读！你知道吗？
在日常生活和生产实践中，人们总是在不断追求优质、高效，希望“少花钱，多办事”。人们所碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题（小学阶段通常称为最大最小问题）。最大最小问题涉及的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
学一学，我能行！
从1-9这9个自然数中选出8个填在下面8个“〇”内，使算式的结果尽可能大，这个最大的结果是__________。
[〇÷〇╳（〇+〇）]-（〇╳〇+〇-〇）
[分析]要使这个算式结果最大，就是要使前面中括号中的结果（被减数）最大，后面小括号内的结果（减数）最小。要使被除数尽可能大，除数尽可能小，“╳”后面的两个加数也要尽可能大。要使减数尽可能小，后面小括号内的〇╳〇尽可能小。
解：[9÷1╳（8+7）]-（2╳3+4-6）=131
小试身手，练一练！
有A、B、C、D4个自然数，取其中3个数相加，和分别是217，206，185，196，则A、B、C、D中最大的数与最小的数之差为多少？
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世界地理之最
世界最高的高原——青藏高原，平均海拔4500米以上，有“世界屋脊”之称 。世界最大热带雨林分布区及最大的平原——亚马孙平原。世界上最大的沙漠——撒哈拉沙漠。世界最大盆地，也是世界三大雨林区之一——刚果盆地。世界上最大的高原——巴西高原。世界上最长的山脉——安第斯山脉。世界上最高的山脉——喜马拉雅山脉。世界上最长的山系——科迪勒拉山系。世界上最高的山峰——珠穆朗玛峰 。
二十七个小正方体的故事
读一读！你知道吗？
鲁班是一位非常有名的巧木匠。传说鲁班在学艺时经常对着一堆木头发呆。有一天，师傅想试试鲁班的真才实学，于是，师傅指着在院中放的一些方木对鲁班说：有八方木三色，十二方木二色，六方木一色，一方木无色，欲合同色大方木，可否？鲁班对着这些方木想了一会儿，不到一柱香的功夫，鲁班便把一个涂有相同颜色的大方木交给了师傅，师傅看后点了点头。你知道鲁班是怎样把这些小方木很快地合成一个大方木的吗？如果你想知道其中的奥秘，那就让我们一起来探索吧！
学一学，我能行！
一个棱长3厘米的正方体，在它的每个面上都涂上颜色。再把它切成棱长1厘米的小正方体。切完后小正方体散落开来，你能把它恢复原状吗？快动手试一试!
想一想：小正方体涂色面分几种情况，各在什么位置？个数分别是多少？
议一议：小正方体的涂色面与什么有关？它们分别在大正方体的什么位置？
我们一起来看下面的例子吧。
例 有两个正方体，棱长分别是4厘米、5厘米，把这两个正方体表面都涂上颜色，然后再分别切成棱长是1厘米的小正方体。
观察和思考下列问题：
1、其中三面涂色的有几个? 2、两面涂色的有几个?
3、一面涂色的有几个? 4、各面都没有涂色的有几个?
独立思考，展开想象，然后把结果填入下表。
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棱长
种类 |
4厘米 |
5厘米 |
发现的规律 |
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3面涂色 |
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2面涂色 |
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1面涂色 |
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没有涂色 |
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观察上面的统计表，你发现了什么规律？跟你的猜想一样吗？
三面涂色的小正方体都在顶点位置，个数等于顶点个数。
两面涂色的小正方体都在棱的位置，个数等于（棱长-2）×12。
一面涂色的小正方体都在面的位置，个数等于（棱长-2）×（棱长-2）×6。
没有涂色的小正方体都被包在里面，个数等于（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）。
运用发现的规律，你能像鲁班一样把散落的小方木合成一个涂色的大方木吗?动手试一试。
小试身手，练一练！
1、一个棱长7分米的正方体，在它的每个面上都涂上颜色。再把它切成棱长1分米的小正方体，这些小正方体中，一面涂色的、二面涂色的、三面涂色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？
2、把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？
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上面我们在研究染色问题时，是用正方体的棱长来计算的，在染色的问题中还有很多有趣的学问。如左图，在它的每个面上都涂上色，再沿它的每一条棱均匀、垂直切三刀，变成一些大小相等的小正方体。在这些小正方体中，一面涂红色的、二面涂红色的、三面涂红色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？我们还可以用刀数来计算。
设刀数为n。
一面图色的：(n-1)(n-1)×6；两面涂色的：（n-1）×12；三面图色的：无论是几刀都是顶点处的8块；没有涂色的：（n-1）(n-1)(n-1) 或者 用总块数-一面涂色-两面涂色-三面涂色。
生活中还有很多有趣的规律等待我们去研究，只要大家肯动脑筋，就一定会有发现。
巧求表面积
读一读！你知道吗？
长方体和正方体是最简单的立体图形，它们都有6个面，8个顶点，12条棱。长方体和正方体的表面积都是指6个面的面积。长方体和正方体都是空间立体图形，空间形体的想象能力是小学生的一种重要的数学能力，而立体图形的学习对培养这种能力十分有效。
学一学，我能行！
我们已学过长方体和正方体的表面积，你能用自己的方法解决下面这个问题吗?
例1：在一个棱长为3厘米的正方体上放一个棱长为2厘米的小正方体（如图），求这个立体图形的表面积。
像这种类型的，把几个立体图形叠在一起，再求表面积的问题，我们可以把复杂问题简单化。也就是我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，压缩后发现：小正方体的上面与大正方体上面的阴影部分合在一起，小正方体的上面就不存在了。这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：
上下方向：大正方体的两个底面；列式是：3×3×2=18（平方厘米）
侧 面：小正方体的4个侧面和大正方体的4个侧面。
小正方体的四个侧面的面积：2×2×4=16（平方厘米）
大正方体的四个侧面的面积：3×3×4=36（平方厘米）
这个立体图形的表面积：18+16+36=70（平方厘米）
换个角度，我们还可以通过替换来解决这个问题，也就是用小正方体的上面替换大正方体被压的上面的一部分，即这个立体图形的表面积看成两部分：小正方体的四个侧面的面积和一个完整的大正方体的表面积。
列式为：2×2×4+3×3×6=70（平方厘米）
例2：如图表示一个正方体,它的棱长为4厘米,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体,问此图的表面积是多少?
方法一：
大正方体表面还剩的面积为 （平方厘米）
六个小空的表面积为 （平方厘米）
这个图的表面积就是90+30=120（平方厘米）
方法二：
大正方体的表面积为6×4×4=96（平方厘米）
六个小空的侧面积1×4×6=24（平方厘米）
这个图的表面积为96+24=120（平方厘米）
小试身手，练一练！
1 、在一个棱长为5分米的正方体上放挖一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。
2、把7个棱长为1厘米的正方体叠放在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形。求这个立体图形的表面积。如图
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几何之父欧几里德
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探讨正方体展开图的相对面
读一读！你知道吗？
通过学习，我们知道了由六个小正方形拼成的35种图形中，只有11种是正方体的平面展开图。这11种展开图还有规律可循，另外24种不能组成正方体的也有规律可循。利用这些小小的发现可以帮助我们更快解决正方体展开图的问题。原本一个小小的正方体，却有这么多学问。同学们，我又要问你了，在这11种正方体的展开图中，哪些面又是“两两相对”的呢?你能很快地找出相对面吗？原来寻找“对面”又是有学问的，让我们一起来研究。
下面是正方体的11种展开图，分别用相同的图案代表相对面。
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我们就 面的位置来探讨，不外乎这四种排列方式。
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（1×3） （2×3） （3×3） （3×4）
第一种对面的关系是中间隔着一个面，是最常见，共出现在图1、6、10中，也较容易了解，我们称它为【1×3】；第二种对面关系是在2×3格子內的对角位置，出现在图2、5、7、8、9、11中，称为【2×3】；第三种对面的关系则是在3×3格子內的对角位置，出现在图3，称为【3×3】；第四种对面的关系则是在3×4格子的对角位置出现在图4，称为【4×3】。
接着，我们发现 这组对面在【1×3】出现9次，在【2×3】出现2次，在【3×3】出现0次，在【4×3】出现0次；绿色这组对面在【1×3】出现8次，在【2×3】出现2次，在【3×3】出现1次，【4×3】出现0次。
我们来统计一下：这11种展开图共有33组对面，【1×3】总共20次，【2×3】出现10次，【3×3】出现2次，【4×3】仅出现1次。因此，我们发现若要用这4种模式找“相对的面”，可能要按照【1×3】、【2×3】、【3×3】、【4×3】的順序来寻找。
学一学，我能行！
下面我们用这4种模式去寻找两两相对面，但必须按【1×3】、【2×3】、【3×3】、【4×3】的顺序去寻找，即先找【1×3】，再找【2×3】，再来是【3×3】，最后才是【4×3】。
例1、找出下面这个展开图的相对面：
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先用【1×3】找出 这组相对面，再用【1×3】找出 的相对面，剩下灰色符合【2×3】，即灰色又是一组相对面。
利用这种方法不仅能找到正方体相对的面，还能够判断图形是否是正方形展开图。
例2、判断下图是不是正方体的展开图：
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先用【1×3】找出 这组相对面，再用【2×3】找出 的相对面，剩下灰色不能符合对面模式，所以证明不是正方体展开图。
若未依照【1×3】、【2×3】、【3×3】、【4×3】的順序来找出相对面，将发生错误，如下面所示。可在粗线条框內，先后找出符合【2×3】的两组对面，结果剩下的灰色面也是符合【2×3】，就无法证明其图形不能组成正方体。
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小试身手，练一练！
找出下列图形中相对的面。
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我变、我变、我变变
——数学方块艺术的创作
同学们，收集一些不用的废纸盒，做出属于自己的百变方块。也许你在亲自制作的过程中，会发现更多正方体的奥秘，或许将来可以制作魔术方块也不一定喔！
你看，这些小朋友利用小小八个正方体就可以变化出6种以上的图形变化!
陸、討論與結論
用方程解决问题
读一读！你知道吗？
列方程解应用题的方法就是以字母代替未知数，使未知数处于与已知数平等的地位，直接参加运算，能够全面的反应数量关系。算术解法中，未知数始终作一个目标处于特殊的地位，不参加列式运算，方程解法中把未知数用“X”表示，一开始就让未知数与已知数处于同等的地位，未知数可以直接参加列式运算。以前我们学习的方程是运用等式的基本性质来求解，今天我们来学习方程的另外一种解法。
学一学，我能行！
鸡和兔子一共有12只，数一数，一共有30条腿，请问，鸡和兔子各有多少只呢？（用方程解答）
我会用方程计算，通过读题我们可知本题要求两个未知量，鸡和兔各几只？题中已知鸡和兔共12只，如果设兔为x只，那么鸡就有（12-x）只，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么兔就共有4 x条腿，鸡就共有（12- x）×2条腿。这样4 x +（12- x）×2就应该是题中给出的30条腿，根据题意列出方程：
解：设兔子有x只，那么鸡就有（12－x）只。
4x+(12－x)×2=30
4x+24－2x=30
2x+24=30
2x=6
x=3
12－x=12－3=9
答：兔子有3只，鸡有9只。
我是这样想的，我先设鸡为x只，那么兔就有（12-x）只，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么鸡就共有2 x条腿，兔就共有（12- x）×4条腿。这样2 x +（12- x）×4就应该是题中给出的30条腿，根据题意列出方程：
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这可怎么办？ |
2x+(12－x)×4=30
2x+48－4x=30
48－2x=30
可以把2x当作减法算式中的减数，根据减数=被减数－差
所以， 48－2x=30
2x=48－30
2x=18
X=9
12- X=12-9=3
答：鸡有9只，兔子有3只。
在解方程时，我们也可以利用加、减、乘、除各部分之间的关系来解。
小试身手，练一练！（用方程解）
1、甲、乙两城相距520千米，货车的速度是每小时52千米，客车的速度是每小时65千米，两车同时从甲、乙两地相向而行，几小时后两车还相距52千米?
2、已知三角形的面积是102平方厘米，高是12厘米，求三角形的底。
3、560÷x=16
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像前面这些方程，它们都只含有一个未知数（也称元），未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
一元一次方程最早出现在古埃及僧人阿默士所著，现收藏于伦敦博物馆的叫做莱因特草纸书中，全书记载有85个题目，有些题目是属于一元一次方程的。一元一次方程的写法和解法都经历了漫长的岁月才发展成现在的样子，阿默士是用一大串符号来表示一元一次方程的，并且是用算术的方法来解的，到笛卡尔（法国数学家1596-1650）一元一次方程才形成现在的写法，其解法也是如此。
逻辑推理
读一读！你知道吗？
现在，我们将要讨论的问题看上去没有什么数学的“味道”，因为问题中不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相关联的条件，不需要也不可能通过演算或作图来加以解决。但是讨论这些问题，必须有条理清晰的思维和严谨有序的推理。这种训练对提高我们的数学思维能力是大有帮助的。
学一学，我能行！
刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。
第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？
解题思路：
根据题目中的已知条件列表：
已知条件：“第一盘：刘刚和小丽对李强和小英”
分析：由于兄妹二人不许搭伴，所以刘刚和小丽不是兄妹，李强和小英不是兄妹，在表格相应的行、列交*格打*“×”。
已知条件：“第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹”
分析：李强和小红不是兄妹；刘刚和马辉的妹妹搭伴，马辉的妹妹肯定不是小红（此时李强正在和小红搭伴），在表格相应的行、列交*格打*“×”。
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小丽 |
小英 |
小红 |
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刘刚 |
× |
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马辉 |
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× |
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李强 |
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× |
× |
从表中的第四行可以看出，李强的妹妹只能是小丽，在表格相应的行、列交*格打*“√”。
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小丽 |
小英 |
小红 |
|
刘刚 |
× |
|
|
|
马辉 |
|
|
× |
|
李强 |
√ |
× |
× |
从表中的第二列可以看出，小丽不是马辉的妹妹，在表格相应的行、列交*格打*“×”。
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小丽 |
小英 |
小红 |
|
刘刚 |
× |
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|
|
马辉 |
× |
|
× |
|
李强 |
√ |
× |
× |
继续分析：
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小丽 |
小英 |
小红 |
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刘刚 |
× |
×③ |
√② |
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马辉 |
× |
√① |
× |
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李强 |
√ |
× |
× |
所以，刘刚的妹妹是小红，马辉的妹妹是小英，李强的妹妹是小丽。
小试身手，练一练！
甲、乙、丙3名学生分别戴着种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服参加一次宣传活动。已知：（1）帽子和衣服的颜色只有红、黄、蓝3种；（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；（3）戴红帽子的学生没穿蓝衣服；（4）戴黄帽子的学生穿红衣服；（5）乙没穿黄衣服。问：这3人分别戴什么帽子，穿什么衣服？
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从一加到一百
七岁时高斯进了 St. Catherine小学。大约在十岁时，老师在算数课上出了一道难题：“把 1到 100的整数写下来，然後把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板﹝当时通行，写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上，第二个做完的就把石板摆在第一张石板上，就这样一个一个落起来。这个难题当然难不倒学过算数级数的人，但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了。但他错了，因为还不到几秒钟，高斯已经把石板放在讲桌上了，同时说道：「答案在这儿！」其他的学生把数字一个个加起来，额头都出了汗水，但高斯却静静坐着，对老师投来的，轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意。考完後，老师一张张地检查着石板。大部分都做错了，学生就吃了一顿鞭打。最後，高斯的石板被翻了过来，只见上面只有一个数字：5050（用不着说，这是正确的答案。）老师吃了一惊，高斯就解释他如何找到答案：1＋100＝101，2＋99＝101，3＋98＝101，……，49＋52＝101，50＋51＝101，一共有50对和为 101的数目，所以答案是 50×101＝5050。由此可见高斯找到了算术级数的对称性，然後就像求得一般算术级数合的过程一样，把数目一对对地凑在一起。
商业中的数学
读一读！你知道吗？
百分数应用题中还经常涉及到一些利润计算的问题。利润问题也是一种常见的百分数应用题。例如，某商品的买入价（也叫进货价或成本价）是100元，以130元卖出，就获得利润30元。用利润÷成本，即30÷100=0.3=30%，我们也可以说获得了30%的利润，利润的百分数就是30%。
工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为打“折”出售，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的80%出售。利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分紧密的。
学一学，我能行！
某商品打八折出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？
[分析]先要找出定价时的成本。按定价打八折出售，仍可获20%的利润，说明打八折的卖价是成本的120%，可是定价不知道，应该怎么办？可以假设开始时定价为1。
解：（1）商品的实际卖价：1×80%=0.8
（2）商品的实际成本：0.8÷（1+20%）=
（3）定价时期望的利润百分数：
（1- ）÷ =50%
答：定价时期望的利润百分数是50%。
小试身手，练一练！
一种商品，进货价是250元，售价是300元。这种商品卖出后所能获得的利润占成本的多少？
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奇 迹
一天夜里，已经很晚了，一对年老的夫妻走进一家旅馆，他们想要一个房间。前台侍者回答说：“对不起，我们旅馆已经客满了，一间空房也没有剩下。”看着这对老人疲惫的神情，侍者又说：“但是，让我来想想办法……”
叙述到这里，你希望下面有一个数学的继续，还是愿意得到一个文学的结局？但不管怎样，数学和文学都将在这里分手了。
数学的故事是这样发展的：这个好心的侍者开始动手为这对老人解决房间问题：他叫醒旅馆里已经睡下的房客，请他们换一换地方：1号房的客人换到2号房间，2号房的客人换到3号房间……以此类推，直至每一位房客都从自己的房间搬到下一个房间。这时奇迹出现了：1号房间竟然空了出来。侍者高兴地将这对老年夫妇安排了进去。没有增加房间，没有减少客人，两位老人来到时所有的房间都住满了客人——但是仅仅通过让每一位客人挪到下一个房间，结果第一个房间就空了出来，这是为什么呢？/原来，两位老人进的是数学上著名的希尔伯特旅馆——它被认为是一个有着无数房间的旅馆。这个故事是伟大的数学家大卫·希尔伯特所讲述，他借此引出了数学上的“无穷大”的概念。这一概念对于这门学科来说之重要，可以说如果没有它我们就很难想像数学将如何存在。只要会数数的人都知道，每一整数都有一个后继者直至无穷（所以在希尔伯特旅馆里，每间房子后面都会有一间直至无穷）……数学就是一门关于无穷大的科学。
好了，我们回到侍者说“让我来想想办法”的地方。文学的故事是这样继续的。这个文学的侍者理应更富人性和爱心，他当然不忍心深夜让这对老人出门另找住宿。而且在这样一个小城，恐怕其他的旅店也早已客满打烊了，这对疲惫不堪的老人岂不会在深夜流落街头？于是好心的侍者将这对老人引领到一个房间，说：“也许它不是最好的，但现在我只能做到这样了。”老人见眼前其实是一间整洁又干净的屋子，就愉快地住了下来。第二天，当他们来到前台结账时，侍者却对他们说：“不用了，因为我只不过是把自己的屋子借给你们住了一晚——祝你们旅途愉快！”原来如此。侍者自己一晚没睡，他就在前台值了一个通宵的夜班。两位老人十分感动。老头儿说：“孩子，你是我见到过的最好的旅店经营人。你会得到报答的。”侍者笑了笑，说这算不了什么。他送老人出了门，转身接着忙自己的事，把这件事情忘了个一干二净。
没想到有一天，侍者接到了一封信函，打开看，里面有一张去纽约的单程机票并有简短附言，聘请他去做另一份工作。他乘飞机来到纽约，按信中所标明的路线来到一个地方，抬眼一看，一座金碧辉煌的大酒店耸立在他的眼前。原来，几个月前的那个深夜，他接待的是一个有着亿万资产的富翁和他的妻子。富翁为这个侍者买下了一座大酒店，深信他会经营管理好这个大酒店。这就是全球赫赫有名的希尔顿饭店首任经理的传奇故事。
事情都是从一个富有同情心、满怀仁爱的侍者的智慧头脑开始：“让我来想想办法……”进入数学的领域，需要的一定是严密的逻辑，合理的推论及精确的求证；来到文学的天地，凭借的却是美好的人性，动人的情节和意外而圆满的结局。但你发现没有：不管是文学还是数学，结局都很神奇——爱加上智慧原来是能够产生奇迹的。
趣题巧解
读一读！你知道吗？
生活中的许多事都蕴含着数学思想，我们先看一个猜数游戏。甲心中想一个32以内的数，乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”，那么乙最多5次必可猜中。比如甲想的是23，下面是5次提问与回答：
（1）“比16大吗？”，“是”；（2）“比24大吗？”，“不”；
（3）“比20大吗？”，“是”；（4）“比22大吗？”，“是”；
（5）“比23大吗？”，“不”。于是乙猜中甲想的23。
这里乙用的是对分法。32的一半是16，第1次问话后，乙知道甲想的数在17～32之间； 17～32中间的数是24，第二次问话后，乙知道甲想的数在17～24之间。依此类推，因为32=25，经5次对分，必猜中。
对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。
学一学，我能行！
例1 有1000箱外形完全相同的产品，其中999箱重量相同，有1箱次品重量较轻。现有一个称（一次可称量500箱），怎样才能尽快找出这箱次品？
分析与解：因为称量一次只有两种结果：等于规定重量或轻于规定重量，所以可用对分法。先取500箱称，若等于规定重量，则次品在另500箱中；若轻于规定重量，则次品在这500箱中。然后对有次品的500箱再对分，取其中的250箱称……因为1000＜1024=210，所以经过10次称必可查出次品。
若一次试验可以有三种不同的结果，则可用三分法。
例2 现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？
分析与解：因为天平称重有三种结果；①两边一样重，②左边重，③右边重，所以可以用三分法。
先将81粒珍珠三等分，在天平两边各放27粒珍珠，天平下还有27粒。若两边一样重，则假珍珠在天平下的27粒中；若左边重，则假珍珠在天平右边的27粒中；若右边重，则假珍珠在天平左边的27粒中。
然后再将有假珍珠的一堆三等份，继续上面的做法。因为81=34，所以只需要称4次就可将假珍珠挑出来。
小试身手，练一练！
1、甲、乙玩猜数游戏。甲在心中想好一个1000以内的数，乙只许问“比某数小吗？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少问几次就一定能猜中这个数？
2、现有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略轻的假珍珠，用一台天平至少称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？
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芝诺悖论
阿喀琉斯是史诗《伊利亚特》里的希腊大英雄。有一天他碰到一只乌龟，乌龟嘲笑他说：“别人都说你厉害，但我看你如果跟我赛跑，还追不上我。”
阿喀琉斯大笑说：“这怎么可能。我就算跑得再慢，速度也有你的10倍，哪会追不上你？”
乌龟说：“好，那我们假设一下。你离我有100米，你的速度是我的10倍。现在你来追我了，但当你跑到我现在这个位置，也就是跑了100米的时候，我也已经又向前跑了10米。当你再追到这个位置的时候，我又向前跑了1米，你再追1米，我又跑了1/10米……总之，你只能无限地接近我，但你永远也不能追上我。”
阿喀琉斯怎么听怎么有道理，一时丈二和尚摸不着头脑。
这是一个追击的行程问题。
阿喀琉斯与乌龟赛跑，等乌龟先跑出一段后阿喀琉斯再起跑追赶，而当他到达被追者的出发点，阿喀琉斯又向前了一段，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。按照这个悖论的逻辑，飞毛腿阿喀琉斯怎么也追不上乌龟
可事实上，大家都知道阿喀琉斯能追上乌龟，并远远超过。可大家都不能很好的辩驳倒这个悖论。
在这里就提供一种破解这个著名悖论的逻辑方法。我们把阿喀琉斯从乌龟一个出发点跑到下一个出发点看做是一个赛程。可以看出，整个比赛将包含无数个赛程。表面上，每个赛程中，阿喀琉斯跑动的距离是不同的，其实，在海市哲学看来，这些赛程都是相同的。因为，在每个赛程都规定，阿喀琉斯都要落后乌龟一段距离，而且，每个赛程都规定，当阿喀琉斯跑完赛程的一半就要结束，并开始下一个赛程。所以，赛程游戏规则就规定了阿喀琉斯不能超过乌龟，即使这样的赛程被重复无限次，最后阿喀琉斯还是不能超过乌龟。
芝诺悖论说阿喀琉斯不能超过乌龟，并不是阿喀琉斯跑不过乌龟，而是阿喀琉斯在游戏规则的限制下不能超过乌龟。
巧求复杂图形的体积
读一读！你知道吗？
可是，年轻的时候，只读过小学三年级的爱迪生却常被别人瞧不起。爱迪生曾经有个助手，名叫阿普顿，毕业于普林斯顿大学数学系，他就常讥笑爱迪生是个只会瞎摆弄的“莽汉”。
为了让阿普顿谦虚些，也为了让阿普顿对科学有真正的认识，爱迪生决定出个难题给他！
一天，爱迪生把一只有孔的废玻璃灯泡交给阿普顿，让他算算灯泡的体积。阿普顿拿着灯泡看了看，觉得灯泡应该是梨形的，心想，虽然计算起来不容易，但还是难不住我！
阿普顿拿尺子上下量了量灯泡，并按灯泡画了张草图，然后列出了一大堆密密麻麻的算式。他算得非常认真，脸上渗出汗珠来。几个小时过去了，桌上堆满了算过的稿纸。又一个小时过去了，爱迪生来看他算好了没有，阿普顿边擦汗边摇头：“快了，算了一半多了。”
爱迪生强忍住笑：“还是换个别的办法试试吧！”阿普顿头也不抬：“我这个办法是最简单、最精确的，你还是等着看结果吧。”
阿普顿根本没有快要完成的样子。爱迪生于是拿过灯泡，一下沉到洗脸池中，让灯泡灌满了水，然后把灯泡里的水倒入量筒里。
阿普顿这才恍然大悟，爱迪生的办法才是简洁而精确的！将水灌入灯泡，灯泡里水的体积和灯泡的体积是一样的，再将水倒入量筒，也就量出了灯泡的体积。
这节课我们也要做聪明的爱迪生，来解决一些复杂图形的体积问题。
学一学，我能行！
1、在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池墙壁的体积是多少？
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1.8 |
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2 |
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3 |
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单位:米 |
【分析】：这个水泥池子如果是实心的其体积为：2×3×1.8=10.8m³，里面空心部分的体积是：（3-0.1×2）×（1.8-0.1×2）×2=8.96m³，用前者减去后者即10.8-8.96=1.84m³。
2×3×1.8-（3-0.1×2）×（1.8-0.1×2）×2=1.84m³
答：这个水泥池子墙壁的体积是1.84立方米。
2、把若干个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如下图所示的立方体,这个立方体的体积是多少立方厘米？
【分析】：先要数一数一共有多少个正方体，一共19个，则这个立体图形的体积为：2×2×19=76 cm³
3、如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的容积是多少立方厘米？
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9 |
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13 |
【分析】：容器在做成后它的长是13-2×2，宽是9-2×2，高是2，所以容器的体积是 （13-2×2）×（9-2×2）×2=90 cm³、
小试身手，练一练！
如图表示一个正方体,它的棱长为4厘米,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体,问此图的体积是多少?
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杂草丝中，一座古坟，墓碑已经风化，字迹模糊不清。然而一个奇怪的标帜却隐约地映入人们的眼帘：碑顶部刻着一个等边圆柱以及它内切球的图形。了解数学史的人很快就会知道，这里长眠着古代最伟大的数学家阿基米德，已经有二千多年了。
阿基米德（公元前287—前212年）在数学上的成就很多，其中他最感兴趣的是关于球体积公式的推导，他为了找到球体积的计算方法，先用一个空心的等边圆柱（就是圆柱底面圆的直径正好等于圆柱的高）的容器，里面装满了水。然后把一个直径等于这个圆柱高的球轻轻放进容器，再小心地把溢出的水收集起来，量出水的体积就是球的体积。他经过多次这样的实验，发现球的体积正好等于圆柱容器体积的 。因为圆柱的体积是已知的，从而推导出球的体积公式。
这就是球的体积公式，想弄明白每个字母表示什么意思吗？自己试着去搜集一下材料，看你能不能解释清楚。
时钟问题
读一读！你知道吗？
同学们对时钟一定非常熟悉了，但是对钟面上的许多有趣的数学问题却不一定清楚。在解决时钟问题时，首先要弄清时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和分针的行走速度：
（1）按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时走5小格，分钟每小时比时针多走55小格。
（2）按“分”算，分针每分走1小格，时针每分走 小格，分针每分比时针多走 小格。
当然，分析时针和分针的行走速度，也可以用大格来研究，但不管怎样，分针行走的速度始终是时针的12倍。
学一学，我能行！
从7点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？
[分析]这个问题可以转化成“追及”问题来解决。7点整，时针指向7，分针指向12。分针走得快，时针走得慢，两针同时出发，就好比分针去追赶时针一样，当分针追上时针，时针和分针也就重合了。
钟面一周有60小格，分针在时针后面35小格，要追及的路程就是35小格；分针每分钟走1小格，时针每分钟走 小格，分针每分钟可以追1- = 小格。最后用“路程÷速度差=追赶的时间”来计算。
解：35÷（1- ）=38 （分）
答：再经过38 分，时针正好和分针重合。
小试身手，练一练！
从5点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？
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为什么时间和角度的单位用六十进位制
时间的单位是小时，角度的单位是度，从表面上看，它们完全没有关系。可是，为什么它们都分成分、秒等名称相同的小单位呢？为什么又都用六十进位制呢？
我们仔细研究一下，就知道这两种量是紧密联系着的。原来，古代人由于生产劳动的需要，要研究天文和历法，就牵涉到时间和角度了。譬如研究昼夜的变化，就要观察地球的自转，这里自转的角度和时间是紧密地联系在一起的。因为历法需要的精确度较高，时间的单位"小时"、角度的单位"度"都嫌太大，必须进一步研究它们的小数。时间和角度都要求它们的小数单位具有这样的性质：使1/2、1/3、1/4、1/5、1/6等都能成为它的整数倍。以1/60作为单位，就正好具有这个性质。譬如：1/2等于30个1/60，1/3等于20个1/60，1/4等于15个1/60……
数学上习惯把这个1/60的单位叫做"分"，用符号"′"来表示；把1分的1/60的单位叫做"秒"，用符号"″"来表示。时间和角度都用分、秒作小数单位。
这个小数的进位制在表示有些数字时很方便。例如常遇到的1/3，在十进位制里要变成无限小数，但在这种进位制中就是一个整数。
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。
神奇的纸圈——莫比乌斯圈
读一读！你知道吗？
数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？
对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、试验，也毫无结果。
有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风，使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。
一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那种圈圈。
莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转180°，再将一端的正面和背面粘在一起，这样就做成了只有一个面的纸圈儿。
圆圈做成后，莫比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证明了这个圈儿只有一个面。” 莫比乌斯圈就这样被发现了。
学一学，我能行
活动准备：
1、三张长30厘米，宽3厘米的长方形纸条（其中一张中间画有二等分线，一张有三等分线）
2、剪刀、胶带纸、水彩笔
活动过程：
1、按照莫比乌斯的做法，自己制作一个莫比乌斯圈，并用水彩笔涂色，用一种颜色，不能间断，使纸圈全部着色。互相欣赏各自的作品。
2、二等分线剪开
用画有二等分线的长方形纸条，再按要求做一个莫比乌斯圈。试想一下，如果把它从中间剪开，结果会怎么样？ 剪开看一看跟你试想的结果一样吗？它还是不是莫比乌斯圈？如何验证？
3、沿三等分线剪开
刚才我们沿着二等分线剪开了莫比乌斯圈，得出的结论是：剪成一个大圈，但不是莫比乌斯圈，是一个一端扭转了360度的大圈。那同学们再猜猜，如果沿着三等分线剪开的话，会出现什么样的情况呢？小组内可以讨论一下。
我们把画有三等分线的长方形线条再做成莫比乌斯圈，用剪刀沿虚线剪开，看看结果，并在组内讨论一下。对出现的结果仔细验证。
小试身手，练一练！
你能不能用一张A4的纸做一个可以套在你身上的大纸环，前提是只能用剪刀剪出一个封闭的纸环。
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1、过山车、莫比乌斯爬梯
2、克莱因瓶
在 1882年，著名数学家菲立克斯·克莱因 (Felix Klein) 发现了后来以他的名字命名的著名“瓶子”。这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面(即环面)。
3、不可能图形邮票
瑞典1982年发行的一枚邮票，图案是一个古里古怪的图形，如果你用指尖沿着这个古怪的图形上任何一个面顺着一个方向划下去，结果会发现这是一个在现实中不可能造出来的东西。但如果你就这样一直顺着划下去，又会回到原来的出发点，似乎这个物体又不荒谬。其实这是一个立体化的“莫比乌斯圈”。发行这枚“不可能的图形”邮票，意在引导人们关注科学，探索宇宙不解之谜。
绘制五角星
读一读！你知道吗？
五角星（Pentangle）它的作图法是由毕达哥拉斯派的人发现的，后来他们用五角星作为他们秘密组织的徽章和联络标志，称之为“健康”。
现今世界各国的国旗上，凡是“星”几乎没有例外都画成五角星。它也被很多国家的军队作为军官（尤其是高级军官）的军衔标志使用。为什么五角星有这么大的魅力？下面就请你来听一个故事：
据说有个毕达哥拉斯弟子出门在外，寄宿于一家小客栈,重病不起，而且身无分文。好心的客栈老板见他病情日趋严重，不仅照料有加，还借钱给他。弥留之际，这位客人要来一块小木板，画上一个“感激符号”，请老板在他死后挂到客栈门外，就会有人来为他还债。客人死后，老板虽然将信将疑，还是想试一试。过了很久，有个毕达哥拉斯弟子路过此地，见到那个符号，驻足观看，询问是怎么回事。得知原委后他立即付给客栈老板一大笔钱，除了还债仍绰绰有余。
这个“感激符号”自然就是五角星。据史料记载，五角星除了表示感激，还表示祝愿教派其他成员健康长寿。正五角星有一股正气凛然之美，所以可以做驱邪之用——这个五角星的秘传意义在西方流传很广。
学一学，我能行！
1、学画五角星。
（1）画一个圆。
（3）连接每隔一点的两个点。
（2）以圆心为顶点连续作五个72度的角，角的边和圆相交于5个点。
（4）擦去多余的线，得到五角星。
2、认识黄金三角形。
五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中出现的所有三角形，都是黄金三角形。
黄金三角形分两种：
一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°。
另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°。
小试身手，练一练！
1、画出两种不同的黄金三角形。
2、自己绘制一个正五角星吧。
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黄金分割
在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割比的。正五边形对角线连满后出现的所有三角形，都是黄金分割三角形。
黄金分割(Golden Section)是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618。人们认为如果符合这一比例的话，就会显得更美、更好看、更协调。在生活中，对“黄金分割”有着很多的应用。古希腊帕提依神庙由于高和宽的比是0.618，成了举世闻名的完美建筑。古埃及的金字塔，形似方锥，大小各异。但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618。建筑师们发现，按这样的比例来设计殿堂，殿堂更加雄伟、壮丽；去设计别墅，别墅将更加舒适、美丽。连一扇门窗若设计为黄金矩形都会显得更加协调和令人赏心悦目。画家们发现，按0.618∶1来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合0.618∶1时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。这个数值的作用不仅仅体现在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面也有着不可忽视的作用。
今人惊讶的是，人体自身也和0.618密切相关。对人体解剖很有研究的意大利画家达·芬奇发现，人的肚脐位于身长的0.618处。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的0.618倍时，人会感到最舒服。
合理设计购房方案
读一读！你知道吗？
随着社会的进步，经济的发展，城市建设的步伐越来越快，人们的生活水平也越来越高。因此，许多家庭已经或正准备购买住房，以进一步改善居住条件，提高生活质量。
在购房过程中，需要考虑的因素很多，如：楼盘质量、地理位置、面积大小、交通状况、装修水平等，其中人们最关注的问题主要是购房总价、现有购房资金以及差价（结余）如何解决几方面。
学一学，我能行！
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表1 |
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楼层 |
系数 |
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1 |
0.9 |
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2、3 |
1 |
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4、5 |
1．1 |
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6、7 |
1．2 |
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8 |
1．05 |
6800元=0.68万元
0．68×98×1.1=73.304（万元）
答：四楼D座购房价共_________万元。
______________________________
答：七楼A座购房价共_________万元。
小试身手，练一练！
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甲 |
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学校 |
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乙 |
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丙 |
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公司 |
小明家（三口人）因旧房拆迁，获拆迁补偿款32万元，家中原有存款10万元。计划在以下几个楼盘中选购一套住房。请帮助小明合理设计购房方案。
表3 |
表2 |
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公司 |
备注：1．楼层系数见表1。
2．购房款一次付清可优惠5%。
3．贷款方式：公积金贷款、商业贷款。
购房方案
购房总价（ 地 型 楼）：
现有款项：
相差(或结余)款项：
解决办法：
设计理由：
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“均价”即楼盘的平均价格，代表一个项目的整体价位水平。但“均价”并非简单的最高价与最低价的算术平均值，而是发展商根据当前的市场情况制定的价格。一个楼盘在推向市场时，先有“均价”，根据这个平均值，来计算出每栋楼中每个单元户型的价位。一般来说，多层的楼盘接近均价的户型位于4层或5层；高层在6-8层，户型位置多为东、西向；一梯二户的多层楼盘单位面积最高价与均价相差5％-8％，高层是在15％-20％之间。一些开发商在进行宣传推广时，打出的均价，可能并不是这个项目现在推出的几栋楼的整体均价，而是其中“均价”最低的那栋楼的价格。因此，不少购房者在挑房时抱怨用“均价”的价格买不到自己合适的房子，也就不足为怪了。
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