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找准“一周”是关键
你知道吗？ 读一读
同学们认识了很多图形，在数学中，我们会碰到一些求图形周长的问题。什么是周长呢？简单地说，周长就是指某个图形一周的长度。可见找准这“一周”包含的线段至关重要，它是正确求出周长的关键。
[例1]把边长是5厘米的两个正方形拼成一个长方形，长方形的周长是多少厘米？
[思路点拨]
因为是两个正方形拼成一个正方形，所以拼法只有一种：，这个长方形的“一周”含有正方形的6个边长周长是5×6=30(厘米)。观察这个新长方形，长是5×2=10（厘米），宽是5厘米，周长是：（10+5）×2=30（厘米）。既然是两个正方形“拼”成的，可知必有一边“重叠”，重叠一边“消失”两个边长，它们的周长关系为：长方形周长=正方形周长×2-边长×2，结果也是30厘米。
[例2]一个长方形长8厘米，宽5厘米，把这样的两个长方形拼在一起得到一个新的长方形，新长方形的周长是多少厘米？
[思路点拨]
读题后，我们首先要考虑如何拼，可以想见有两种拼法：（1）把长边拼在一起， 这时周长是（8+5×2）×2=36（厘米）；（2）把宽边拼在一起， 这时周长是（8×2+5）×2=42（厘米）。从此题可以看出，拼图形求周长，有时要考虑多种可能性。
[总结与提示]
求拼合图形的周长问题，需要弄清楚如何拼法，再根据拼成的图形或公式进行计算，或按线段分类计算。弄清楚图形“一周”所包含的线段和“消失”的线段，这是灵活解题的关键。同学们在解题过程中，不妨画一画，想一想，聪明的你一定会有许多新的发现！
1、甲、乙两个图形，哪一个周长更长？
2、把周长为16厘米的两个正方形拼成一个长方形，求长方形的周长。
3、一个长方形长9厘米，宽6厘米。这样的两个长方形拼成一个大长方形，大长方形的周长可能是多少厘米？
4、一个正方形周长为17厘米，三个这样的正方形拼成一个长方形，长方形周长是多少厘米？
5、妈妈把一张周长为40厘米的正方形纸片对折后，沿折痕剪开，剪开后每个长方形的周长是多少厘米？
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2000多年前，有人用简单的测量工具计算出地球的周长。这个人就是古希
腊的埃拉托色尼。
埃拉托色尼博学多才，他不仅通晓天文，而且熟知地理；又是诗人、历史学
家、语言学家、哲学家，曾担任过亚历山大博物馆的馆长。
细心的埃拉托色尼发现：离亚历山大城约800公里的塞恩城(今埃及阿斯旺附近)，夏日正午的阳光可以一直照到井底，因而这时候所有地面上的直立物都应该没有影子。但是，亚历山大城地面上的直立物却有一段很短的影子。他认为：直立物的影子是由亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角所造成。从地球是圆球和阳光直线传播这两个前提出发，从假想的地心向塞恩城和亚历山大城引两条直线，其中的夹角应等于亚历山大城的阳光与直立物形成的夹角。按照相似三角形的比例关系，已知两地之间的距离，便能测出地球的圆周长。埃拉托色尼测出夹角约为7度，是地球圆周角(360度)的五十分之一，由此推算地球的周长大约为4万公里，这与实际地球周长(40076公里)相差无几。他还算出太阳与地球间距离为1.47亿公里，和实际距离1.49亿公里也惊人地相近。这充分反映了埃拉托色尼的学说和智慧。
埃拉托色尼是首先使用“地理学”名称的人，从此代替传统的“地方志”，写成了三卷专著。书中描述了地球的形状、大小和海陆分布。埃拉托色尼还用经纬网绘制地图，最早把物理学的原理与数学方法相结合，创立了数理
地理学。
判断周期是关键
你知道吗？读一读
在日常生活中，有一些事物总是按照一定规律不断重复出现。比如：每年有12个月，每周有7天……数学上也有类似的问题，我们一般称之为“周期问题”。
[例1]“电脑迷”佳佳给自己的电脑设计了一个特殊的屏幕保护。屏幕上从左到右依次不断地出现15-2，18+7，15-2，18+7……的算式。照这样的规律一直写下去，第35个算式什么呢？
[思路点拨]
小朋友们通过观察，很容易发现“15-2”“18+7”这两个算式重复交替出现，也就是说，我们可以把“15-2”与“18+7”看成一组。
35÷2=17（组）……1（个）
商“17”表示一共有17组“15-2”与“18+7”，余数“1”表示第35个算式是第18组中的第一个算式，所以，第35个算式是“15-2”。
[例2]2009年9月1日我们又迎来了新的学期，这天是星期二，到这个月底9月30日是星期几呢？开动脑筋，你有方法知道吗？
[思路点拨]
我们根据生活经验知道，如果今天是星期二，再过7天还是星期二，也就是说，每隔7天就要重复一遍，7天为一个周期。首先思考从9月1日到9月30日经过了多少天。因为9月份除去9月1日这一天还有29天，30-1=29（天）。
29÷7=4（星期）……1（天）
29天里包括4个星期还多1天，这里是以9月2日作为第一天来计算的，9月2日是星期三，4个星期后的第1天是星期三。
[总结与提示]
从上面的几道例题中，我们不难发现解决周期问题的关键是判断周期，按后作除法计算，再从余数突破，最终得到问题的答案。
1、聪聪给一些纸苹果按红、黄、绿的顺序涂颜色，你知道第25个苹果应该涂什么颜色吗？ ……
2、小强在练习本上写下了一行有规律的文字：我爱小学生数学报我爱小学生数学报我爱小学生数学报……
聪明的小朋友，小强写的第50个是哪个字？
3、我们把自然数 A B C D
按右边的规律排列， 1 2 3 4
那么，71排在哪个字 5 6 7 8
母的下面？ 9 10 11 12
……
4、婷婷买了一本童话故事书，每两页文字之间有4页插图，也就是说，4页插图前后各有1页文字（如下图所示）。如果这本童话故事书的第1页是文字，那么，第60页是插图还是文字？
文字、插图、插图、插图、插图、文字、插图、插图、插图、插图
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1、为什么一年有12个月？
公历一年有12个月，但不少人并不知道12个月的英语名称的来历。公历起源于古罗马历法。古罗马历法原来只有10个月，罗马皇帝决定增加两个月放在年尾，后来朱里斯·凯撒大帝把这两个月移到年初，成为1月、2月，原来的1月、2月便成了3月、4月，依次类推。这就是今天世界沿用的公历。
2、为什么7、8月是大月？
我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前46年，罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在7月，为了表示他的伟大，于是他决定：将7月叫"儒略月"，连同所有单月都定为31天，双日定为30天，只有2月平年29天，闰年30天。因为2月是行刑的月份，所以减少一天。
朱里斯·凯撒死后，由他的甥孙屋大维继任罗马皇帝。为了和凯撒齐名，他也想用自己的名字来命名一个月份。他的生日在九月，但他选定八月。因为他登基时，罗马元老院在八月授予他Augustus（奥古斯都）的尊号。于是他决定用这个尊号来命名八月。原来八月比七月少一天，为了和凯撒平起平坐，他决定从二月抽出一天加在八月上。从此，二月便少了一天。英语八月August便由这位皇帝的拉丁语尊号演变而来。于是又从2月里拿出一天来。从此2月平年就只有28天了。
我们今天用的公历是从儒略历变来的。在公元前46年，罗马的统帅叫儒略·恺撒。据说他的生日在7月，为了表示他的伟大，于是他决定：将7月叫"儒略月"，连同所有单月都定为31天，双日定为30天，只有2月平年29天，闰年30天。因为2月是行刑的月份，所以减少一天。
朱里斯·凯撒死后，由他的甥孙屋大维继任罗马皇帝。为了和凯撒齐名，他也想用自己的名字来命名一个月份。他的生日在九月，但他选定八月。因为他登基时，罗马元老院在八月授予他Augustus（奥古斯都）的尊号。于是他决定用这个尊号来命名八月。原来八月比七月少一天，为了和凯撒平起平坐，他决定从二月抽出一天加在八月上。从此，二月便少了一天。英语八月August便由这位皇帝的拉丁语尊号演变而来。于是又从2月里拿出一天来。从此2月平年就只有28天了。
抓住不变量思考
你知道吗？读一读
有些问题，解题时需要根据已知条件，求出一个单位量，如单位面积的产量、单位时间的工作量、单位物品的价格、单位时间所行的路程等等，然后，再根据题中的条件和问题求出结果。
[例1]小红买4本练习本，共付了8元钱。小明买同样的5本练习本，需要付多少元？小军有6元钱可以买多少本这样的练习本？
[思路点拨]
要解决“买5本练习本多少元”和“6元钱可以买多少本这样的练习本”这两个问题，首先要求出“每本练习本的价格”，因为“每本练习本的价格”这个单位数量是不变的。根据“4本练习本，共付了8元钱”，可以先求出每本练习本8÷4=2（元）。因此，小明买同样的5本练习本需要5×2=10（元）；再依据“总价÷单价=数量”，得出小军能买6÷2=3（本）这样的练习本。
[例2]商店运来9箱水杯，每箱5个共900元。现在有1200元，而包装改为每箱6个，可以购进多少箱这样的水杯？
[思路点拨]
不论怎么包装，每个水杯的价格都是不变的。我们既可以先求出原来一箱的价格再除以5，也可以先求出9箱中共有多少个水杯，然后用总价900元除以总个数，来得出每个水杯的价格。接着，求出变换包装后每箱的价格，最终问题就迎刃而解了。
方法一：900÷9÷5=20（元），1200÷20÷6=10（箱）。
方法二：900÷（9×5）=20（元），1200÷（20×6）=10（箱）。
[例3]友好社区俱乐部购进了一些足球和篮球。买3个足球和5个篮球共用440元，后来又买了相同的3个足球和8个篮球共用560元。1个足球和1个篮球各多少元？
[思路点拨]
虽然两次购进两种球所用的钱数不同，但其中足球所用的钱数相等，两次花费相差560-440=120（元），是因为第二次多买了3个篮球，因此，可以求出一个篮球的价格。560-440=120（元），8-5=3（个），120÷3=40（元）。每个篮球40元，那么每个足球的价格也能得出，请同学们试一试。
[总结与提示]
如果题目中有几个相联系的数量，其中的一个数量变化时另一种数量也随着变化，并且它们之间的变化规律是相同的，这时就要利用其中的不变量来思考。解答这类问题，一般要先求出单位数量，再求出其他数量。其中计算单位数量的过程，有时一步计算就可以了，有时则要通过两步计算才能完成，方法也有多种，同学们要灵活掌握！
1、5箱蜂蜜一年可酿50千克蜂蜜，照这样计算，酿400千克蜂蜜要多少箱蜂蜜酿一年？
2、王爷爷家住三层，从一层到三层需要走60秒钟，按次速度，从一层到六层需要多长时间？
3、两辆汽车3个月用油3600千克，5辆汽车4个月用油多少千克？
4、台机床7个小时可以加工280个零件，现在增加1台机床，8小时共可以加工多少个零件？
5、李阿姨买了2千克苹果和2千克梨共花了24元；张奶奶买了同样的5千克苹果和2千克梨共花了48元。1千克梨和1千克苹果各多少元？
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16世纪时，这个国家是由许多彼此独立的小国组成。其中有两个相邻的小
国，原先睦邻友好，人民相互自由进出，连货币都可通用，并且价值相等。后来两国闹了矛盾，虽然人民还可以自由来往，但甲国的国王下令，乙国的钞票若拿到本国使用，100元只能作本国的90元。乙国得知这一消息后，也不示弱，迅即下了一道同样的命令，以牙还牙，即甲国的钞票若拿到本国使用，100元只作本国的90元！
一个名叫阿诺德的人，得知这一消息，连忙劝说两国的国王，万万不可如此。否则有人悄悄跑跑腿，便会趁机发了大财。两个国王都不相信。阿诺德见说服不了他们，便自告奋勇亲自实践。两国国王分别给他100元，让他试验。若果真他能利用这条命令发了大财，便收回成命。
阿诺德拿了200元钱，一会儿到甲国购货，一会儿又到乙国购货，往返穿梭在两国的商店里，不消几日，便腰缠万贯。接着他便把赚来的大宗财物，送到国王面前。两国的国王见状都惊奇得目瞪口呆。忙问他：“是怎么赚得的？”阿诺德讲述了赚钱方法后，国王都信服地连连点头，深深认识了分裂的危害，于是他们各自都收回了成命，和好如初。你知道，阿诺德是怎样赚钱的吗？
解：阿诺德拿着甲国的100元，在甲国的商场购物10元，对方找钱时，他声称要到乙国去，要求找回乙国的钞票，这样，本应找回他90元甲国钞票，他却得到了100元乙国钞票。此时，连同乙国国王给的100元，他有了200元乙国钞票。
阿诺德拿着乙国的200元钞票，迅速地跑到乙国商店要20元的货物，在对方找钱时，他又声称自己要到甲国去，要求找回甲国钞票。这样，本应找他180元(90元×2)的乙国钞票，他却得到了200元的甲国钞票。
就这样，他在甲国购物，要求找回乙国钞票；在乙国购物，要求找回甲国钞票……如此循环往复，他手中的钱物便越聚越多，用不了多长时间，便发了大财
合理安排
你知道吗？读一读
要想把事情完成得好，由要时间用得尽可能少，就要合理安排。比如，我们出去买盐，可以顺便把家里的垃圾带出去扔进垃圾箱，这样就不要专门去倒垃圾，节约了做家务的时间。比如，下面几道例题。
[例1]小红每天早晨起床要完成下面几件事情：
|
洗脸 |
刷牙 |
烧开水 |
吃早餐 |
|
2分钟 |
1分钟 |
12分钟 |
8分钟 |
小红至少需要多少分钟才能做完这些事情?
[思路点拨]
小红如果按部就班完成以上四件事,需要23分钟,显然不合理.如果调整顺序,就可以节省很多时间。最合理的安排是：先烧开水，在烧开水的同时，完成洗脸、刷牙、吃早餐，这样只需要12分钟。
[例2]甲、乙两个同学到办公室听老师给自己讲评作文，给甲讲需8分钟，给乙讲需10分钟，怎样安排给两个同学讲评的先后次序，使两个同学在办公室所花时间总和最少？最少是多少？
[思路点拨]
如果甲先听老师讲评作文，需要8分钟，乙等待8分钟。接着乙再听老师讲评，需要10分钟，两人共用8×2+10=26（分）。如果按乙先甲后的顺序听老师讲评作文，则用时10+（10+8）=28（分）。显然，应先安排用时少的人听老师讲评作文合算，最少用时26分钟。
[总结与提示]
完成一件事，怎样安排，才能做到所用的时间最少，或者所需的费用最省，或者效果最好等等诸如此类的问题，我都要从下面三个方面来思考：一是要做哪些工作，二是做每件工作需要的最佳时间，三是弄清所做工作的程序，在诸多方案中寻求一种最合理、最优化的一种方案。
1、用一平底锅煎鸡蛋，每次只能煎两个，煎1个需要2分钟（正反面各需1分钟），若煎3个至少需要几分钟？
2、小芳早晨起床，穿衣用2分钟，刷牙洗脸要3分钟，整理床铺2分钟，背外语单词5分钟，插上开关用电饭锅烧饭要10分钟。小芳怎样安排能够完成所有的事情，并吃上早饭？
3、甲、乙两人各拿一个水桶等候打水，他们打水分别需要1分钟、2分钟。如果只有一个水龙头，试问怎样安排他们的打水顺序，才能使两个人排队和打水时间的总和最少？最少是多少？
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数学小子的故事——抢夺时间
森林王国的“数学小子”——小猴奇奇无人不知、无人不晓，他的故事非常神奇。下面就让我们来听听吧！
终于盼来了暑假，小猴奇奇与好朋友小狗贝贝、小鹿秋秋要去“森林乐园”游玩的计划可以实现了。三人提前一天买好了火车票，整装待发。
“不好！快起床！还有20分钟就8点了。”奇奇睁开眼，大声地喊他的同伴，三人匆匆地向火车站跑去。
他们买的是8点的火车票。还好，到了火车站，还有7分钟就8点了，这时，三人才觉得肚子饿。还是贝贝鼻子灵，很快就发现了旁边有一个烤面包的小店。走进小店，老板刚开始工作。三人要了三片面包，老板让他们等8分钟，因为面包机一次只能放两片，烤一面要2分钟，当然烤两片需要4分钟，烤三片面包就需要8分钟了。秋秋抬头看了看钟，说：“呀！还有6分钟就8点了，来不及了，就烤两片吧！”这时一旁的奇奇胸有成竹地说：“来得及！老板，你按我的方法烤！”大家都把目光投向奇奇。
“先把1号和2号面包放进去烤，2分钟后，正面都烤好了，然后再把1号面包翻一下，2号面包拿出来，把3号面包放进去，再过2分钟，1号面包已经烤好，最后把3号面包翻一下，同时烤2号面包的反面，这样一共只需要6分钟。”奇奇一口气说完。
老板连忙去做，面包刚烤好，火车带着轰鸣声到站了。大家付了钱，急忙拿着面包上了车。
画图求和倍
你知道吗？读一读
和倍应用题，顾名思义就是已知几个量的和以及它们之间的倍数关系，求出几个量分别是多少。解决和倍问题的基本方法是：先根据题意画出线段图，使数量关系具体形象，再找出和以及所对应的倍数，从而先求出1倍数，再求出几倍数。
[例1]李阿姨和她的孩子共重66千克，现已知李阿姨的体重是孩子体重的5倍。那么，你能算出李阿姨和她的孩子各有多重吗？
[思路点拨]
根据题意画出线段图。
|
66 |
从线段图中，可以一目了然地看出孩子的体重是1倍数，李阿姨的体重是5倍数，一共是6倍数。与6倍相对应的和是66千克，那么，孩子重66÷(5+1)=11(千克)，李阿姨重11×5=55（千克），或66-11=55（千克）。
[例2]果园里有桃树和梨树共340棵，其中桃树的棵数比梨树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？
[思路点拨]
根据题意，画出线段图。
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340 |
从“桃树的棵数比梨树的3倍多20棵”可以知道，梨树的棵数是1倍数，桃树的棵数不仅是梨树的3倍，还多出20棵。从线段图可以清楚看出：如果桃树的棵数减去20棵，就正好是梨树的3倍。总棵数也相应地减少20棵，即340-20=320（棵）对应梨树棵数的4倍。
因此，梨树有（340-20）÷（3+1）=80（棵），桃数有80×3+20=260（棵），或340-80=260（棵）。
[例3]弟弟有课外书20本，哥哥有课外书5本，哥哥给弟弟多少本后，弟弟的书是哥哥的2倍？
[思路点拨]
根据题意，画出哥哥给了弟弟一些书后课外书本数的线段图。
|
( 20+25 ) |
无论哥哥给弟弟多少本，两人课外书的总本数不变，即20+25=45（本）。哥哥给弟弟若干本后，哥哥的本数是1倍数，弟弟的本数是2倍数，和是3倍数（即45本），可以求出现在哥哥的本数。再与原来哥哥的本数进行比较，多出的部分即为哥哥给弟弟的本数。
现在哥哥有课外书（20+25）÷（2+1）=15（本）。给弟弟25-15=10（本）后，弟弟的课外书是哥哥的2倍。
[总结与提示]
解决和倍应用题的关键是怎样求出1倍数，画好线段图是解决问题的突破口。要对照线段图，找准“和”所对应的倍数和，然后用除法求出1倍数，再求几倍数。较复杂的和倍应用题中，“和”对应的不是整倍数，可以将“和”加上或减去一个数，转化为整倍数。
1、甲、乙两个书架共放图书160本，甲架的图书本数是乙架的3倍，甲、乙两个书架各放图书多少本？
2、小军有邮票120枚，甜甜有邮票30枚，小军给甜甜多少枚之后，他的邮票才是甜甜的2倍？
3、某学校有雪糁710人，其中男生比女生的2倍少100人，男、女生各有多少人？
4、一个长方形，周长是30厘米，长是宽的2倍，这个长方形长、宽各是多少厘米？
5、苹果、桔子和梨共552个，苹果比桔子的2倍多12个，梨比桔子少20个，求苹果、桔子和梨各多少个？
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高斯念小学的时候，有一次在老师教完加法后，因为老师想要休息，所以便出了一道题目要同学们算算看，题目是：
1+2+3+ ..... +97+98+99+100 = ?
老师心里正想，这下子小朋友一定要算到下课了吧！正要借口出去时，却被 高斯叫住了！！ 原来呀，高斯已经算出来了，小朋友你可知道他是如何算的吗？
高斯告诉大家他是如何算出的：把 1加 至 100 与 100 加至 1 排成两排相加，也就是说：
1+2+3+4+ ..... +96+97+98+99+100
100+99+98+97+96+ ..... +4+3+2+1
=101+101+101+ ..... +101+101+101+101
共有一百个101相加，但算式重复了两次，所以把10100 除以 2便得到答案等于 <5050>
从此以后高斯小学的学习过程早已经超越了其它的同学，也因此奠定了他以
后的数学基础，更让他成为——数学天才！
等量代换
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等量代换，是我们解决数学问题的重要思考方法，也是我们日常生活中经常使用的思考方法。这种方法自古有之，在没有发明货币和衡量器之前，人们到市场上不是买卖东西，而是以物换物。例如：张三有1头牛，李四有6头猪。经过协商，张三用1头牛换得李四6头猪。过了几天，张三又将其中的1头猪与王五换了2只羊。这样一来，就产生了1头牛相当于6头猪、1头猪相当于2只羊，1头牛相当于12只羊的交换关系。有了货币，人们就用货币来作为中间量进行交换，从而使买卖双方的交换方便多了。
[例1]下的四个天平都保持平衡。想一想：1个南瓜和几个梨的重相等？
[思路点拨]
从图上可以看出：
1个南瓜的重=3个菠萝的重，
1个菠萝的重=3个梨的重，
所以，1个南瓜的重就等于
3×3=9（个）梨的重。
[例2]已知1只小猪重12千克，请你根据下图推算出1只小猫和1只兔子共重多少千克？
[思路点拨]
观察上图中三种小动物称重时的关系，从第一幅图我们可以发现，1只小猪的重=4只小猫的重，所以，每只小猫重12÷4=3（千克）；从第二幅图中，我们可以发现2只小猫的重=3只小兔的重，2只小猫6千克，每只小兔重6÷3=2（千克）。1只小猫+1只小兔=3+2=5（千克）。
[总结与提示]
运用等量代换方法进行解题时，首先要弄清题目中各种量的意义，找出他们之间的相等关系，再根据这些相等的关系进行代换，从而解决问题。
1、2只羊可以换1头猪，5头猪可以换1匹马，2匹马可以换几只羊？
2、每只大羊的食量相当于2只小羊的食量，现在有2只大羊和一只小羊，3天一共吃了30千克草，那么60千克草够1只小羊吃多少天？
3、果园里有桃树和杏树一共500棵，桃树的棵数比杏使的2倍少16棵。那么，果园中有杏树多少棵？
4、1头大象的力气和22头猪相当，而2只河马的力气相当于7头猪，那么1头大象的力气相当于多少只河马加8头猪？
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“曹冲称象”的故事是我们大家都很熟悉的，聪明的曹冲先把大象赶上船，看船被河水水面淹没到什么位置，然后刻上记号。把大象赶上岸，再往船里装上石头，当船被水面淹没到记号的位置时，就可以判断：船上的石头共有多重，大象就有多重。为什么大象的重量可以换成一船石头的重量呢？因为两次船下沉后被水面所淹没的深度一样，只有当大象与一船石头一样重（重量相等）时，才会淹没得一样深。
“曹冲称象”不是瞎称的，而是运用了“等量代换”的思考方法：两个完全相等的量，可以互相代换。这个故事给我们这样一个启发：某些数学问题若直接考虑有困难，可以把原有的条件或问题用等价的量去代换，从而找到解题的线索。
“招工”落陷阱---平均数问题
你知道吗？读一读
大学刚毕业，欣欣很兴奋，她怀着激动的心情到人才市场去应聘。一家公司的老板对她说：“我们这里的报酬不错，平均薪金是每月1800元”，欣欣很高兴，愉快地接受了这份工作。一个月后，她领到第一个月的工资1200元。欣欣很生气，去问老板：“不是说好平均工资是每月1800元吗？”。老板不急不慢地回答：“平均工资确实是每月1800元，不信你可以自己算一算。我每月工资是4000元，2个副经理每人每月工资是3000元，2个主任每人每月工资是2500元，10个工人每人每月工资1200元。总共是每月27000元，付给15个人，平均工资正好是每月1800元”。 欣欣气得说不出话来。
在这个故事里，狡猾的老板利用欣欣对统计数字的误解，骗了她。欣欣产生误解的根源在于，她不了解平均数的确切含义。平均数表示现象的一般水平，一组数据的集中程度，而不一定表示所有个体都具有这个水平。
（一）聪聪和明明是一对双胞胎兄弟，一天，妈妈想考一考兄弟两个谁的思维更敏捷，于是，说出一串数字，让他们求出这串数字的平均数。
这串数是：33、37、41、45、49、53、57、61、65。 |
聪聪想了想说：
求平均数，要先求和。 |
于是，他拿出本子去计算了。
明明看起来并不像哥哥一样着急，他先想了想，说：
|
他也拿出本子去计算了。
几分钟后，哥俩儿同时得出了答案。
哥哥：我是计算出来的……
(33+37+41+45+49+53+57+61+65)÷9
=441÷9
=49
答：这9个数字的平均数是49。
弟弟：
⑴仔细观察,可以发现这串数是一个有规律的数列,它的所有数的平均数，就是头、尾两个数的平均数。
⑵当这个数列的个数是奇数时，其平均数正好是最中间的这个数。本题共九个数，平均数就是中间数49。
妈妈听了非常高兴，表扬了他们，并希望哥哥像弟弟学习，遇事善于观察和思考。
（二）蓓蕾幼儿园大（一）班有男孩23人，女孩27人，男孩的平均身高是115厘米，女孩的平均身高是112厘米，求全班同学的平均身高是多少厘米？
思考：能不能直接用（115+112）÷2？ 说出理由。 |
结合生活情境，同桌合作算一算。
说明：求平均身高，是求全班同学的平均身高，和人数有着重要关系。不能简单的用男、女生的平均身高相加，再除以2来计算。
1、桥西区第二届中华颂·2009经典诗文诵读比赛中，六位评委对某位选手打分分别是：77、82、78、95、83、75。去掉一个最高分和一个最低分后，该选手的平均成绩是多少分？
2、国庆节晶晶正在读《西游记》，已知她前3天平均每天读77页，后4天平均每天读98页，那么这7天中他平均每天读多少页？
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平均气温的计算
☆年平均气温
是把一年12个月的月平均气温求和，再除以12，求得的商就是年平均气温。
☆候平均气温
为了特殊需要，有时每5天作一次平均气温，这叫做候平均气温。 ☆日平均气温
是反映气候特征的重要指标之一，通常有2种计算方法:
方法一：日最高气温和最低气温平均；
方法二：4个定时气温平均。
为了比较2种方法计算的日平均气温是否有显著差异,说明何种方法更接近实际日平均气温,选择我国8个气象站冷年、正常年、暖年的日气温资料和北京密云1991年中28d每日整点气温资料进行分析。
结果表明:
2种方法得到的日均温差异显著；四时平均气温比较接近实际日平均气温；另外，2种方法的差异基本无年际间的差别，但在各个季节和地区是不同的。
简单推理
你知道吗？读一读
传说唐僧去西天取经，路上遇见三个人，其中有两个人是“说谎国”的人，有一个人是“老实国”的人，唐僧想知道他们谁是老实国人，于是问他们三人：“你们是哪个国家的人？”
第一个人说：“我是老实国人”
第二个人的声音很小，唐僧没听清楚。
第三个人说：“第二个人是说自己是老实国人，我也是老实国人”，根据他们的回答，你能判断谁是老实国人吗？
要判断出某件事的正确性，在我们日常生活中也见过，它们不需要或很少需要计算，而是要求我们通过已知条件和问题进行分析、推理，得出正确的结论。习惯上，我们把这类问题叫做“逻辑推理问题”。这一讲我们来学习简单推理。
例1 有甲、乙、丙三人，这三人分别是经理、会计和司机。已知丙的年龄比会计大，甲和司机不同岁，司机的年龄比乙小。问：三人各做什么职业？
思路点拨
根据“甲和司机不同岁，司机的年龄比乙小”这两个条件可以知道，甲不是司机，乙也不是司机，所以可以断定丙一定是司机。
既然丙是司机，可知司机的年龄比会计大，那么根据条件“甲和司机不同岁，司机的年龄比乙小“可知，乙肯定不是会计，那么乙一定是经理。
既然乙是经理，丙是司机，因此甲只能是会计。
总结提示：
推理是一个比较复杂的思维过程，要充分利用题中的已知条件，先试着用你的猜想去对照每个条件，看是否符合。如果发现有矛盾，则要调节思考的方向。在推理过程中，要充分运用已经判断出的结论作为条件，逐步推进，直到作出正确的判断。
在得到结论后，还要学会把结论代到原题中检验。如果没有矛盾，就说明推理正确。
1、王大妈、张大妈和李大妈去超市买东西，买了一双拖鞋、一袋奶粉和一瓶醋。现在知道每人买了其中的一件物品，但王大妈买的不是奶粉，张大妈买的不是醋也不是奶粉。请问：她们三人各买了什么物品？
2、小红、小燕和小丹原来是邻居，后来当了医生、记者和画家，只知道小丹比画家年纪大，小红和记者年纪不一样，记者比小燕年纪小。请问：她们三人各是什么职业？
3、有红、白、蓝、黄、黑五个盒子，其中红盒比白盒大；蓝盒比黄盒大比黑盒小；黄盒比白盒大；黑盒比红盒小。问：哪个盒子最大，哪个盒子最小？
4、环保知识赛后，小康、小林和小兵各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌。老师猜测：“小康得金牌，小林不得金牌，小兵不得铜牌。”结果老师只猜对了一个，那么谁得金牌，谁得银牌，谁得铜牌呢？
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改变顺序的妙用
甲乙丙三个人，一直是蓬头垢面，衣衫不整。有一天，有个好心人给了甲两块钱，让他打扮打扮自己。甲想了想，拿出一块钱给乙，让他为自己理发洗头。甲把另外一块钱付给了丙，于是丙把甲的衣服和鞋子洗得干干净净。此时的甲虽然又是身无分文，但面貌已是焕然一新。而老模样的乙和丙却各得了一块钱。
已有一块钱在手的乙也动了动脑筋，他把一块钱付钱给了丙，让丙洗了他的衣服和鞋子。
乙的举动启发了已有两块钱的丙，丙取出一块钱让乙给自己收拾一下头发，再付一块钱给甲，让甲替他洗衣服和鞋子。这样，丙也打扮得干干净净了。
至此，甲和乙每人拥有一块钱，而打理干净的人增加到甲和丙两个人。
那个衣服和鞋子已经清洁的乙把他手中的一块钱付给了甲，让甲给自己清理了头发。
现在，甲乙丙三人都已干净整洁，而那两块钱兜了一圈后又回到了甲的手里。明白了好心人用意的甲又把钱还给了那个好心人。尽管甲乙丙三个人仍是身无分文，但三个人都改变了形象。
在这个故事里，经济学家看到的是资金释放了潜在的劳动力；哲学家关注的是外因是变化的条件，内因是变化的根据；而数学家则感受到数字改变顺序后产生的作用。
这个故事说明了改变顺序的必要性，即为了解决一个看上去复杂的问题，有时并不需要增加什么，你要做的仅仅是改变顺序而已。如果你掌握了这种策略并灵活运用，说不定就会有令你惊喜的发现和收获！
年龄问题
你知道吗？读一读
年龄问题是日常生活中一种常见的问题。例如：已知两个人或若干人的年龄，求他们年龄之间的某种数量关系等等。要正确解答这类题，首先要明白：两个不同年龄的人，年龄之差始终不变。所以我们要抓住“年龄差不变”这个特点，运用“和差”、“差倍”等知识来分析解答有关年龄方面的问题。
例[1] 爸爸、妈妈今年的年龄和是82岁。5年后爸爸比妈妈大6岁。今年爸爸、妈妈两人各多少岁？
分析 5年后，爸爸比妈妈大6岁，即爸爸、**的年龄差是6岁，它是一个不变量。因此，爸爸、妈妈现在的年龄差仍然是6岁。这样原问题就归结为“已知爸爸、**的年龄和是82岁，他们的年龄差是6岁，求两人各是几岁”的和差问题。
解 ：爸爸年龄：（82＋6）÷2=44（岁）
妈妈年龄：44－6=38（岁）
答：爸爸的年龄是44岁，**的年龄是38岁。
例[2] 小红今年7岁，妈妈今年35岁。小红几岁时，**的年龄正好是小红的3倍？
分析 无论小红多少岁时，**的年龄都比小红大（35－7）岁。所以当**的年龄是小红的3倍时，也就是妈妈年龄比小红大（3－1）倍时，妈妈仍比小红大（35－7）岁，这个差是不变的。由这个（35－7）岁的差和对应的这个（3－1）倍，就可以算出小红的年龄，即差倍问题中的差÷（倍数－1）=较小数。
解 妈妈现在比小红大的岁数：
35－7=28（岁）
妈妈年龄是小红的3倍时，比小红大的倍数是：
3－1=2（倍）
妈妈年龄是小红的3倍时，小红的年龄是：
28÷2=14（岁）
答：小红14岁时，妈妈年龄正好是小红的3倍。
1、6年前，母亲的年龄是儿子的5倍。6年后母子年龄和是78岁。问：母亲今年多少岁？
2、 小强今年13岁，小军今年9岁。当两人的年龄和是40岁时，两个各是多少岁？
3、 甲、乙两人的年龄和正好是100岁。当甲像乙现在这样大时，乙的年龄正好是甲年龄的一半。甲、乙两人今年各多少岁？
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年龄问题的主要特点是：大小年龄差是个不变的量，而年龄的倍数却年年不同。我们可以抓住“差不变”这个特点，再根据大小年龄之间的倍数关系与年龄之和等条件解答这类应用题。
解答年龄问题的一般方法是：
几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄－大小年龄差÷倍数差
求经过时间
你知道吗？读一读
我们学过是用“直接相减法”与“分段计算法”求经过时间的。本讲我们学习用“凑整加（减）差法”与“竖式计算法”解决求经过时间的实际问题。
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数学试卷。开始时，他从镜子里看了
一下钟，写完后又从镜中看了一下钟，
如下图所示。你知道小刚完成这张试卷
用了多长时间吗？
[思路点拨]
在镜子里看时间，位置是左右调换的，关键是要看清时针在几和几之间，分针指向哪里。小刚做试卷开始时是8：10，结束时是9：20，从而可求出经过时间。
本题可以用“凑整加差法”进行计算，具体方法是从8：10到9：10是1小时（凑整），从9：10到9：20是10分钟，合起来是1小时10分钟。这与“分段计算法”是有区别的。本题如果分段计算，则是先算出从8：10到9：00是50分，再算出从9：00到9：20是20分，最后两段相加是50+20=70（分），即1小时10分钟。
[例2]某部队急行军，从上午10：45出发，到下午3：20经过了多长时间？
[思路点拨]
先把下午3：20改为24时记时法15：20，再用竖式计算。要注意分钟不够减，退1小时作60分再计算。
15：20 14：80
- 10：45 - 10：45
4：35
答：经过了4小时35分。
[例3]东方小学第二节课从上午8：55开始上课，一节课40分，这节课何时下课？
[思路点拨]
此题可以用竖式计算，但要注意分钟相加满60要进为1小时。
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8：55
+ 40
8：95 |
答：这节课9：35下课。
[总结与提示]
用“凑整加（减）差法”计算经过时间，如凑整小时数的时间小于实际用的时间，就要加上相差的时间；如果凑整小时数的时间大于实际用的时间，就要减去相差的时间。
用“竖式计算法”计算经过时间，要注意以下几点：第一，要注意书写格式。时与时对齐，分与分对齐。第二，要注意进位、退位。因为1时=60分，时与分之间的进率是60 ，所以在笔算经过时间的过程中，要注意满60分进为1小时，退1小时作60分。第三，要注意区别时间与时刻的意义。
1、姐姐要在规定时间内完成语文、数学、英语三门作业，语文作业用去规定时间的一半，数学作业用去了剩下时间的一半，最后15分钟完成了英语作业，姐姐完成这三门作业一共用了多长时间？
2、小红家的钟停了，电台广播上午11点整，奶奶跟电台对时，由于年纪大了，把时针和分针调颠倒了。小红中午放学回家发现钟已是下午1点钟，与平时带家的时间相差太多。请你帮小红想一想：现在的正确时刻应该是多少？
3、王师傅每5分钟可以加工1个零件，从16：25到17：00，一共可以加工多少个零件？
4、向阳小学早上8：10开始上课，每节课40分钟，课间休息10分钟（第二节课后阳光锻炼30分钟），三节课后上自习20分钟，请填写下面的作息时间表：
第一节课：（ ）— （ ）
第二节课：（ ）— （ ）
第三节课：（ ）— （ ）
自 习：（ ）— （ ）
5、联欢晚会从19：30开始，一共开了2小时40分。晚会结束时是几时几分？
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时间老人从很久很久以前走来，又匆匆忙忙地向遥远地未来走去，他的脚步一刻也没有停止。他经历了沧海桑田的变化，目睹了三皇五帝的兴衰，他是一个无所不知、永远年轻的智慧老人。
时间老人是一部厚厚的历史，时间家族的小字辈一直跟踪着他，嚷着要老人讲故事。“时”、“分”、“秒”快步地跟上，“年”、“月”、“日”紧追不舍，“季节”、“星期”也都来了，连“世纪”、“年代”也悄悄地尾随其后。
老人一边走，一边讲述着故事：“远古时候，人们对我们时间家族，并不熟悉。他们日出而作，日落而息，迷迷糊糊地过日子。时间久了，他们发现日月星辰，寒来暑往，有着一定的规律。于是人们把太阳升起又落下到再升起经过的一段时间叫做‘一日’，又发现月亮圆缺一次的周期，是30日左右，于是把30日叫做‘一个月’。”“日”“月”听了高兴地跳起来：“原来我们是这样诞生的！”跟在一旁的“年”忙问：“我是怎么诞生的呢？”
时间老人继续说：“后来人们又发现气候的变化也是有规律的。春、夏、秋、冬，寒来暑往，每12个月叫做“一年”；根据气候变化情况把一年分为春、夏、秋、冬四季，每三个月称作一季……”“年”、“月”、“日”听了时间老人的讲述齐声欢呼，他们终于明白自己的身世。
说话间，“世纪”、“年代”也跟了上来，没等他俩开口，老人便说：“你们俩虽然表示的时间长，年龄却比年、月、日小，每10年为一个‘年代’。” “照这么说，10年等于1个年代，10个年代等于1个世纪了？”“世纪”问。
“当然了，可是一些人常常把你们搞错。”老人说，“一个世纪的100年，是从第一年算起的，如公元7世纪，第一年是601年，最后一年是700年。公元20世纪的第一年是从1901年起算的。年代就不同了，他是从0～9计算的，人们说，公元20世纪90年代，是指1990－1999年，每个世纪的最后一年，不包括在任何年代里，只能说某世纪的最后一年，如2000年是20世纪的最后一年。”“啊！原来是这样！”“世纪”和“年代”异口同声地说，“今后，再有谁把我们搞错了，咱们就要和他说清楚！”
时间家族的小字辈们欢跳着，继续紧跟在时间老人的后面。一年就是地球绕太阳转一周所用的时间，它的准确时间是365天5小时48分46秒。
可可：我们计算日期都是用整天数作单位，所以把365天当作一年。
淘淘：“照这样计算，一年就多了5小时48分46秒，那4年就多出23小时15分4秒，就接近一天了。”
可可：“对，每过4年就多一天，就把这一天放在第四个年份里，因此规定366天的年份叫‘闰年’，365天的年份叫‘平年’。”
乐乐：“把23小时15分4秒当作一天实际还差44分56秒，这么算，时间长了，误差不就大了吗？”
可可：“你问得好！所以，在这样的基础上，为了减小误差又有这样的规定：公历年份是整百数的，必须是400的倍数才作闰年，否则仍作平年。这样，4年一闰，100年不闰，400年又闰，误差就小了。”
时间老人是一部厚厚的历史，时间家族的小字辈一直跟踪着他，嚷着要老人讲故事。“时”、“分”、“秒”快步地跟上，“年”、“月”、“日”紧追不舍，“季节”、“星期”也都来了，连“世纪”、“年代”也悄悄地尾随其后。
老人一边走，一边讲述着故事：“远古时候，人们对我们时间家族，并不熟悉。他们日出而作，日落而息，迷迷糊糊地过日子。时间久了，他们发现日月星辰，寒来暑往，有着一定的规律。于是人们把太阳升起又落下到再升起经过的一段时间叫做‘一日’，又发现月亮圆缺一次的周期，是30日左右，于是把30日叫做‘一个月’。”“日”“月”听了高兴地跳起来：“原来我们是这样诞生的！”跟在一旁的“年”忙问：“我是怎么诞生的呢？”
时间老人继续说：“后来人们又发现气候的变化也是有规律的。春、夏、秋、冬，寒来暑往，每12个月叫做“一年”；根据气候变化情况把一年分为春、夏、秋、冬四季，每三个月称作一季……”“年”、“月”、“日”听了时间老人的讲述齐声欢呼，他们终于明白自己的身世。
说话间，“世纪”、“年代”也跟了上来，没等他俩开口，老人便说：“你们俩虽然表示的时间长，年龄却比年、月、日小，每10年为一个‘年代’。” “照这么说，10年等于1个年代，10个年代等于1个世纪了？”“世纪”问。
“当然了，可是一些人常常把你们搞错。”老人说，“一个世纪的100年，是从第一年算起的，如公元7世纪，第一年是601年，最后一年是700年。公元20世纪的第一年是从1901年起算的。年代就不同了，他是从0～9计算的，人们说，公元20世纪90年代，是指1990－1999年，每个世纪的最后一年，不包括在任何年代里，只能说某世纪的最后一年，如2000年是20世纪的最后一年。”“啊！原来是这样！”“世纪”和“年代”异口同声地说，“今后，再有谁把我们搞错了，咱们就要和他说清楚！”
时间家族的小字辈们欢跳着，继续紧跟在时间老人的后面。一年就是地球绕太阳转一周所用的时间，它的准确时间是365天5小时48分46秒。
可可：我们计算日期都是用整天数作单位，所以把365天当作一年。
淘淘：“照这样计算，一年就多了5小时48分46秒，那4年就多出23小时15分4秒，就接近一天了。”
可可：“对，每过4年就多一天，就把这一天放在第四个年份里，因此规定366天的年份叫‘闰年’，365天的年份叫‘平年’。”
乐乐：“把23小时15分4秒当作一天实际还差44分56秒，这么算，时间长了，误差不就大了吗？”
可可：“你问得好！所以，在这样的基础上，为了减小误差又有这样的规定：公历年份是整百数的，必须是400的倍数才作闰年，否则仍作平年。这样，4年一闰，100年不闰，400年又闰，误差就小了。”
利用图形特点思考
你知道吗？读一读
小明的叔叔要围一个长8米，宽4米的羊圈，可是篱笆只有24米，如何为才好呢？小明灵机一动，有办法了？！你知道是什么办法吗？
[例1]如图1，用一段长20米的篱笆*墙围成一个长方形养鸡场，已知长为8米，求这个长方形养鸡场的面积有多大？
[思路点拨]
根据题意，这个长方形养鸡场实际只有三面是篱笆围成的，可以有两种围法，如图1和图2所示。观察图1，这个养鸡场的长是8米，宽是20-8×2=4（米），面积是8×4=32（平方米）；观察图2，这个养鸡场的长是8米，宽是（20-8）÷2=6（米），面积是8×6=48（平方米）。
[例2]如图3，在一个边长是14厘米的正方形上，有4个长为14厘米，宽为2厘米的小长方形组成的红色汉字“井”。问：这个正方形剩余部分（除红色部分外）的面积是多少？
[思路点拨]
通常我们会这样想：从正方形的面积中减去4个长方形的面积。一个小长方形的面积是14×2=28（平方厘米），4个小长方形的面积是28×4=112（平方厘米）。因此，剩余部分的面积是14×14-112+2×2×4=100（平方厘米）。想一想，为什么要加上“2×2×4”。这样计算当然可以，但不够简单。让我们换个角度思考：移动4个长方形，如图4，这时剩余部分仍然是一个小正方形，这个小正方形的边长为14-2×2=10（厘米）。因此，原正方形剩余部分（除红色部分外）的面积是10×10=100（平方厘米）。
[例3]从一个周长是48厘米的长方形纸片中剪去一个最大的正方形，剩下长方形的周长是30厘米，那么，原长方形的面积是多少平方厘米？
[思路点拨]
如果给你一张长方形纸让你折成一个最大的正方形，你会怎样折，不妨试一试。通过动手折一折，就会发现以宽作为正方形的边长时，折成正方形的面积最大，如图5。这时剩下的图形是一个长方形，这个长方形的长加宽的和正好是原长方形的长，因此，原长方形的长是30÷2=15（厘米），宽是48÷2-15=9（厘米），面积是15×9=135（平方厘米）。
[总结与提示]
在解决有关长方形和正方形面积问题时，需细心观察，把握图形的特点。有时通过合理地平移或添加辅助线，可以让复杂问题简单化。
1、用50米的篱笆*墙围成一个长20米的长方形菜地。这个菜地的面积是多少平方米？
2、4块大小相同的正方形的地砖，拼成一个长方形，周长比原来4块正方形地砖的周长和减少了8分米。原来每块地砖的面积是多少平方分米？
3、从长100厘米、宽60厘米的长方形纸上剪下一个最大的正方形，这张正方形纸的面积是多少？还剩下多大面积的纸？
4、已知一个长方形的周长是24厘米，长和宽都是整厘米数，这个长方形有多少种可能的情况？哪种形状的长方形面积最大？你发现了什么？
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数学童话故事——骄傲的小鲤鱼
小鲤鱼是在一个正方形鱼池里土生土长的，所以他对正方形最了解。
有一天，小青蛙跳来找小鲤鱼，想请他帮忙算一个鱼池的周长和面积。小青蛙刚说明来意，小鲤鱼就骄傲地卖弄自己的学问了：“我只要沿正方形鱼池的四边游一周，量出周长，就能计算出它的面积。例如，这个正方形鱼池的周长是120米，那么，每边的长就是120÷4＝30（米），所以面积就是30×30＝900（平方米）。小青蛙，你知道我这样算的道理吗？”小青蛙眨巴眨巴眼睛说：“我要有你这样的学问，今天就不来麻烦你了。”小鲤鱼傲慢地说：“好，别吞吞吐吐的，有什么难题，尽管说吧。”
小青蛙说：“养鱼的专业户张大爷有一个正方形鱼池周长是80米，张大爷想紧挨着正方形鱼池再挖一个同样大的鱼池，这样就可拼成一个长方形鱼池了。请你算一算，拼成的长方形鱼池的周长是多少米？面积是多少平方米？”
“这有什么难的！”小鲤鱼不假思索地说，“长方形鱼池的周长是80＋80＝160（米）。面积嘛？……你自己去算吧！”小鲤鱼一时算不出来，于是就不耐烦了。
鲤鱼妈妈听了，赶忙游过来向小青蛙打招呼说：“青蛙弟弟，别见怪，小鲤鱼太不懂礼貌了。来，我帮您算。因为原来正方形鱼池的周长是80米，正方形的4条边是相等的，所以每边的长是80÷4＝20（米），正方形鱼池的面积就是20×20＝400（平方米），拼成的长方形鱼池的面积是400＋400＝800（平方米）。但是，算长方形鱼池的周长就不能简单地把两个正方形的周长相加了。因为拼成一个长方形鱼池，就少了正方形的2条边长，所以这个长方形鱼池的周长应该是160－20×2＝120（米）。”小青蛙听了连声道谢，满意地一蹦一跳回去了。而骄傲的小鲤鱼呢，羞得连尾巴都红了，惭愧地游到水底下去了。
利用余数，进行推理
你知道吗？读一读
笨笨猪想了个好办法让鸭妈妈和鸡妈妈和好了，他还带着小鸡和小鸭排着整齐的队伍在草坪上做起了运动，准备参加动物运动会呢，瞧它们来了！
图：鸭鸡鸡鸭鸡鸡鸭鸡鸡
猜一猜下一个出场的会是谁？
[例1]2013年 2月24日是星期日，下一个星期天是（ ）月（ ）日。
[思路点拨]
每个星期都是7天，那么24日往后推算7天就是31日，即24+7=31。但还要考虑2月是特殊的月份，他既不是大月又不是小月，根据平年或闰年我们可以推算出它的天数。因为2013年是平年（想一想，为什么），所以2月有28天，那么接着3月份再数3天，也就是下一个星期日是3月3日。
[例2]2009年的10月1日是星期四，你能算出2010年的10月1日是星期几吗？
[思路点拨]
我们知道从2009年的10月1日到2010年的10月1日正好是一年。由于2010年是平年，2月份只有28天，所以这一年有365天。365÷7=52（周）……1（天），这一年中有52个星期还余1天，从2009年10月1日的星期四往后数1天是星期五。因此，2010年的10月1日也就是星期五。
[例3]一个月中最多有几个星期日？最少有几个星期日？
[思路点拨]
我们知道一个月中最多有31天，31÷7=4（周）……3（天），31天里有4个星期多3天，4个星期里肯定有4个星期日，多出得天中可能有星期日吗？我们可以通过画月历来帮助理解，如下图。
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日 |
一 |
二 |
三 |
四 |
五 |
六 |
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我们来做个假设，如果这个月的1日就是星期日，从图上可以看出，前28天有4个星期日，剩下的3天（▲表示）分别是星期日、星期一、星期二，因此一个月中最多有5个星期日。当然还可以假设这个月的1日是星期五、星期六。
一个月中最少有28天，正好是4个星期，4个星期共有4个星期日，所以，一个月中最少有4个星期日。
[总结与提示]
要知道某一天是星期几，只要用经过的天数除以7，再看余数是几，就从开始的那天往后数几天。当然在月历中还有许多规律性的知识，需要我们仔细观察、认真思考。
1、今年的3月28日是星期日，再过一饿星期是小明爸爸的生日，小明爸爸的生日是几月几日？
2、2006年1月1日是星期日，2008年的第一个星期日是哪一天？
3、一个月中最多有几个星期三？最少有几个星期三？
4、2009年的9月份有4个星期一，5个星期二，这年的国庆节在星期几？
5、2009的8月份非常有趣，这个月中有3个星期日的日期数是双数，这个月的1日是星期几？
阅读链接
容易弄错的日期
有的小朋友从一年级开始就学习英语，英语里也有很有趣的数学问题哩！比如日期的写法，英国人日期的写法顺序是日、月、年，而美国人的写法顺序却是月、日、年，虽然年总是放在最后，但月、日的排列顺序却完全颠倒了。
让我们举个例子。譬如说7/3/1999，英国人的理解是1999年3月7 日，而美国人却认为它是1999年7月3日，两者之间的误差近四个月！
现在要问你，在1999年这一年中，这种分不清的日子究竟有多少天？
这个问题很有趣，相信你也能解决。很明显，如果月、日两个数字中间有一个大于12，那么它一定表示日期，因为一年只有12个月呀！所以，不论写成4/15/1999还是写成15/4/1999，都只能是1999年4月15日这一天。所以，每个月中分不清的日子应该是前12天。
但是，当月、日两个数字完全相同时，当然所代表的是同一个日期，例如7/7/1999，自然数就是7月7日，不可能产生误会。所以，每个月中这种分不清的日子实际是11天。
那么，这类容易弄错的日子，在1999年只能有：11×12=132（天）。
如果把平年换成闰年，如2004年，请你想一想，这个答案变不变呢？
算式谜
你知道吗？读一读
一个算式本来是完整的，可不知道被谁擦去了几个数字，这时的算式就好似一个谜一样，这种算式就被称为算式谜，算式谜又被称作为“虫食算”，意思是说算式中一些数字像是被虫吃一样。
在有的算式谜中所缺的数是用文字或字母代替，我们称之为文字算式谜。解答文字算式谜的题目，除了要灵活运用前面介绍的方法外，还要注意在同一道题中，相同的文字（字母）应表示相同的数字，不同的文字（字母）应表示不同的数字。
例1、下面算式中的○，△，□，☆各代表一个数，求出它们代表的数。
（1）○+○-12=6
（2）9×△+18÷3=42
（3）10×☆-☆×8=36
解析：
（1）根据原式可得○×2-12=6。把（○×2）看成一个数，可知○×2=12+6，即○×2=18，可知○=9；
（2）根据原式可得9×△+6=42，把（9×△）看成一个数，可知9×△=42-6，
即9×△=36，可知△=4；
（3）根据原式可知☆×2=36，所以，☆=18。
例2、将数字0，1，3，4，5，6填入下面的□内，使等式成立，每个空格只填入一个数字，并且所填的数字不能重复：
□×□=□2=□□÷□
解析：
解答这类问题，先要抓住一些关键的部分，填出关键的数以后，其他便可迎刃而解（称为一点突破）。
我们可以先看□×□=□2，乘积是个两位数，个位数是2，所给的数字中只有
3×4=12的个位数是2，所以可将前三个□内分别填入3，4，1，余下的0，5，6要组成一个两位数除以一个一位数，商是12的除法算式，只能是60÷5。所以这道题可以这样填：3 ×4 =1 2=6 0 ÷5 。
1、下面各式中○，△，☆，□分别代表什么数时，算式才能成立：
（1）○×3+6=21；
（2）（30+△）×7=343；
（3）5×8-☆÷6=36；
（4）□×8+7×□=45
2、在方框中填上3个相邻的一位数，使算式成立：
50-□=□×□
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关于端午节的几个算式谜
端午节是我国一个重要的传统节日，现在又成了公休日。在端午节到来之际，出几道算式谜，供大家欣赏。
这也算是纪念屈原的一种另类方式吧。
算式一：“屈原”代表1～9的某个数字。请还原这个算式。
原屈
原屈※
× 原※※屈※
———————
5 5 2 7 8 3 3 9
说明：在乘积中嵌入了三个关键数，55代表端午节，, 278表示公元前278年屈原投江自尽，339表示公元前339
年屈原诞生（也有资料说是公元前340年，不过数的分解比较容易）。
提示：这题相对比较简单，只要分解因子即可。因为数较大，分解起因子来也要花点力气。
算式二：算式中每个不同汉字各代表0-9中的某个数字。请还原这个算式。
路漫漫其修远兮
＋ 路漫漫其修远兮
——————————
上下求索路漫漫
说明：也许“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索”是屈原《离骚》中最著名的诗句。
提示：这是一道加法算式谜，10个数字都用到了。难度不算大，不过得有点耐心。不断地把数字代入尝试是
比较好的解决办法。
算式三：“端午祭屈原”各代表0～9的某个数字。请还原这个算式。
端午祭屈原
× 端午祭屈原
————————
※※※※原
※※※※※屈
※※※※祭
※※端※午
端午祭屈原
———————————
※※※※※※※※※
说明：算式中，“端午祭屈原”这几个字出现了四遍，给人以荡气回肠的感受。
提示：这题比上题难一些，不过有的字太容易确定了，比如：端=1，原=5或6。。
说明：据郭沫若先生考证，屈原作品共流传下来23篇。其中《九歌》十一篇，《九章》九篇，《离骚》、《
天问》、《招魂》各一篇。为了构造趣味算式，在这里把《九歌》十一篇，《九章》九篇，《离骚》、《天问》、《招魂》各1篇，用拼音首字母代替汉字，分别简记为一个四位数jg11，四个三位数jz9，ls1，tw1，
zh1，屈原的全部作品记为四位数qy23。
提示：有的字母比较容易知道，如y=0
循环问题
你知道吗？读一读
小朋友们，你留意过循环问题吗？在日常生活中，有一些按照一定的规律不断重复出现的现象。如人的生肖：鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪都是按顺序不断重复出现的。在数学中，也常会碰到一些重复出现的问题。在研究这些问题时，我们不仅要判断其不断重复出现的规律，也就是找出循环的固定数，而更重要的是看它的余数。如1999年元旦是星期五，2000年元旦是星期几？因为1999年是平年，有365天，365÷7=52……1，所以2000年的元旦是星期六。这就是根据365除以7所得的余数来判定的。那么，就让我们一起来看看怎么来解决这一类的问题。
学一学，我能行!
例[1] 流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红，再4个黄，再3个绿，再2个黑，再1个白，然后又依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白……像这样继续下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
分析 小木球涂色的次序是：“5红，4黄，3绿，2黑，1白”，也就是每涂过“5红，4黄，3绿，2黑，1白”循环一次，给小木球涂色的周期是5+4+3+2+1=15。所以只要用2003除以15，根据余数就可以判断球的颜色。
解 2003÷15=133……8
这就是说，第1999个小木球出现在上面所列一个周期中的第8个，所以第2003个小球涂的是黄色。
例[2] 有一列数：7，0，2，5，3，7，0，2，5，3，…
（1） 第81个数是多少？
（2） 这81个数相加的和是多少？
分析 （1） 从排列可以看出这组数是按7，0，2，5，3依次重复排列的，那么一个循环周期就有5个数。
（2）之和是7+0+2+5+3=17。用每个循环各数之和可以循环次数再加上余下的各数，即可得到答案。
解（1）81÷5=16……1
按照循环次序可知：第81个数为7。
（2）17×16+7=279
所以这81个数相加的和为279
1、 假设所有自然数排列起来如下图所示，55应排在哪个字母下面？248应排在哪个字母下面？
A B C D
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
. . . .
. . . .
. . . .
2、 如下图，8个队员围成一圈做传球游戏，从1号开始，按照箭头方向向下一个人传球。在传球的同时按自然数数列报数。当报到96时，球在几号队员手上？
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解决循环问题时，应把注重点放在以下几个方面：
一、 数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。
二、 每几个数循环一次，周期长度是多少。
三、 每个循环节是按什么次序排列的。
解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。比如余数为3，就找循环节里面的第3个状态。
最大数和最小数问题
你知道吗？读一读
六月一日，“小天使”儿童快餐店迎来了28位前来就餐的小朋友。快餐店的老板准备了一份精美的礼品送给其中年龄最小的小朋友。
谁的年龄最小呢？
当每个小朋友报出自己的年龄后，老板发现，其中有10岁的，也有9岁、8岁、7岁、6岁的，最小的是5岁。但是5岁的小朋友有4位。按照这4位小朋友生日的先后，还能找到一个最小的，因此老板要他们各自报出自己的生日。结果如下：
小雨 2月8日
豆豆 5月2日
苗苗 8月16日
慧慧 12月9日
把这4位小客人的生日一比，很容易知道，慧慧是28位小朋友当中最小的。
慧慧得到老板送的大蛋糕。她把这块大蛋糕分成了28份，让大家和她一起品尝。
也许有的同学会问：“如果这4个小朋友中有两个生日是同一天，那怎么办呢？”
是不是谁生日的数字大就是谁大呢？哪些是通过比数字的大小得到最大最小数？通过下面的一些例题与方法，我们将会得到这方面的知识。
例1：下面算式中的两个方块内应填什么数，才能使这道除法题的余数最大。
□ ÷5=104……□
[思路点拨]要解决这样的题目，首先要熟知除法算式各部分之间的关系。我们知道，余数应当小于除数。这道除法算式中，除法是5，余数要比5小，所以第二个方框中最大填4.
当余数最大确定为4后，根据“被除数=商×除数”，第一个方框内应填：104×5+4=524
例2：（1）请你用1、5、6、9这四个数字组成一个最大的四位数。
（2）请你用1、2、7、8这四位数字组成一个最小的四位数。
[思路点拨]用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应该用最大的数占最高位的数位，要使组成的数最小，应当用最小的数占最高的数位。需要注意0不能在最高位。
小朋友们，回到我们开头提的故事，那么我们发现，不是所有的比较大小都只看数字，而是同时要考虑其他因素，慧慧生日数字大，证明她出生晚，所以她最小，同样的理由，如果这4位小朋友在同一天生日，那么谁出生的时间最晚那么谁就最小。
1、 下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道除法题的余数最大。
□÷10=10……□
2、 下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道除法题的被除数最大。
□÷20=12……□
3、c÷10=8……□,要使余数最大，c应该是多少？
4、最小的五位数是（ ），比最大的四位数大70的数是（ ）。
5、用2，0，3，8组成的最大的四位数是（ ），最小的四位数是（ ）。
6、用1，6，7，8，9组成的最小的五位数是（ ），最大的五位数是（ ）。
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用不同的数字组成多位数，要使组成的数最大，应当用较大的数占较高的数位；要使组成的数最小，应当用较小的数占较高的数位。
其中列举比较法是获得最大数或最小数的常用方法。
解决“最大（最小）问题”，有时需要考虑最不利（最不凑巧）的情况，比如，“锁与钥匙配对”的问题。
有这样一条规律一定要记住：两个整数的和一定，那么当它们相等时，乘积最大。
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