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格点与面积(1)
教学目标：
1、让学生知道什么是格点、内部格点数、周界格点数以及格点多边形等基本知识。
2、自主探究格点与图形面积的关系，得出格点面积=内部格点数+周界上格点数÷2－1的计算公式。并应用公式解决实际问题。
3、在观察、对比、分析中发现规律，体验成功的喜悦，培养学生的数学能力。
教学准备：多媒体课件一套、课堂作业纸。
教学过程：
一、创设情境，提出问题
师：请看：你看到了什么？（鱼钩和鱼网）。为了能捕到鱼，人们制作了鱼钩和网。同样在数学的学习中，为了更好的解决问题聪明的人类也创造了一些“工具”。今天我们主要学习利用格点求几何图形的面积。
1、出示：下面每个小方格都是正方形，边长都为1，那么一个小方格的面积就是多少？（1个单位面积）下图的总面积是多少？横线与垂直线的交点叫格点。（电脑闪烁各格点）
2、请看下图，这是两个画在方格纸中的多边形，请认真观察①②③④图中的各个顶点，你有什么发现？（电脑闪烁各顶点）（有的点在格点上，有的在图形里面）
3、请数数刚才这个格点多边形内部有多少个格点？再数数边上的格点数。
二、自主探究，发现规律
图①是个平行四边形，周界上有10个格点，图内有4个格点，根据格点面积公式，图①的面积为：4+10÷2-1=8；
图②是个梯形，周界上有8个格点，图内有2个格点，根据格点面积公式，图②的面积为：2+8÷2-1=5；
图③、图④学生以小组为单位自主探究。
发现规律：图内格点数+周界格点数÷2－1=格点图形面积
这四个图形也可以用数格子的方法计算面积。
三、课堂小结
通过今天这节课的学习你有什么收获?
格点与面积(2)
教学目标：
1、掌握格点图形面积=内部格点数+周界上格点数÷2－1的计算公式。并应用公式解决实际问题。
3、在观察、对比、分析中发现规律，体验成功的喜悦，培养学生的数学能力。
教学准备：多媒体课件一套、课堂作业纸。
教学过程：
一、学一学，我能行
下图中喇叭、小猫、小狗的面积各是多少？
1、学生尝试计算喇叭、小猫的面积。
2、以小组为单位，讨论如何计算小狗的面积。
3、小狗图案可以看着是两个格点多边形组成，先分别求出每个格点多边形的面积，再求出总面积。
躯干面积：0+12÷2-1=5；
尾巴面积：0+4÷2-1=1；
总面积：5+1=6。
像小狗图案这样，由两个或两个以上独立的格点多边形拼成的多边形，要求其总面积，一般先求出每个独立多边形的面积，再求和，以免发生漏数多个独立图形公共格点的错误。
二、小试身手，练一练
【题目】：下面是一个漂亮礼盒的平面图，请你求出它的面积。
【题目2】：你知道下图中共有多少个图形吗？每个图形的面积各是多少？
图中有8个三角形： AEC,AED,ADC,ABD,ABC,EBD,EBC,DBC；可以用皮克公式算出每个图形的面积。
三、阅读链接
皮克定理的证明
将格点图中的每个点看作以这个点为圆心、以单位面积正方形的边长的一半为半径的圆。格点多边形图内的点对应的圆的面积都是图形面积的一部分；而在多边形边界上的点对应的圆的面积只有一半属于这个多边形，且多边形每个角上的圆属于图内的面积都不到半个圆，少了其外角对应的扇形面积，因任意多边形的外角和是360度，正好是个整圆，所以周界上圆在图内的面积为：
周界格点数÷2-1
所以格点多边形面积为：图内格点个数+周界格点数÷2-1。
合理安排（1）
教学目标：
1、知道统筹方法在生活中的应用，能根据实际情况合理安排时间。
2、经历解决问题的过程，培养合作精神和探索精神。
3、通过数学活动，感受合理安排时间的重要性，养成合理安排时间的良好习惯。
教学重难点：
重点：使学生认识到解决问题策略的多样性，形成寻找解决问题最优方案的意识。
难点：引导学生从优化的角度，在解决问题的多种方案中寻找最优化方案。
教学过程：
一、你知道吗？读一读
合理安排是统筹规划问题，即在完成多个任务时，设计出最优化的解决问题的方案，合理安排工作顺序可以提高效率。
统筹方法在日常生活、生产或科学研究中常常用到。中国当代著名数学家华罗庚，在《统筹方法》一文中，通过一个浅显的例子，从时间安排上，介绍了统筹方法的应用价值，其实统筹方法在很多领域都有广泛的应用。
二、学一学，我能行
假设烙一个馅饼需要4分钟（每一面需要2分钟），1个烙饼锅每次正好可以烙两个馅饼，要烙97个馅饼至少需要多少个分钟？
根据题中条件，联系生活实际，可知，每两个馅饼一组烙好需要4分钟。97个馅饼可以分成48组（97÷2=48……1），如果先烙好前48组，还剩下1个馅饼，烙最后一个馅饼也需要4分钟，但因为只有一个饼，所以空了半边锅。要想节省时间，只能合理利用那空着的半边锅。
97个馅饼，每两个一组，我们可以先烙好47组后，把剩下3个饼作为一组，这3个饼可以这样烙：先用2分钟烙好第一个馅饼和第二个馅饼的正面，再用2分钟烙好第一个馅饼反面和第三个馅饼的正面，最后用2分钟烙好第二个馅饼的反面和第三个馅饼的反面。烙3个饼子只需要6分钟。
所以烙97个馅饼至少需要时间：47×4+6=194（分钟）。
三、小试身手，练一练
小红煎鸡蛋，两面都要煎，每面只需要一分钟，一个锅一次只能前两个。煎5个蛋至少需要多少时间？6个呢？7个呢？8个呢？
四、课堂小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
合理安排（2）
教学目标：
1、会用流程图表示事情的安排顺序。
2、经历解决问题的过程，培养合作精神和探索精神。
3、通过数学活动，感受合理安排时间的重要性，养成合理安排时间的良好习惯。
一、学一学，我能行
小红中午放学回家煮饭。淘米要3分钟，煮饭要25分钟，洗菜要8分钟，切菜要5分钟，炒菜要10分钟。如果煮饭和炒菜用不同的锅子和炉子。小红要将饭、菜都煮好，最少需要多少分钟？
解题前先要分析，要做的这些事，有些事有先后顺序、不能同时做的，例如必须要先淘米再煮饭；而有些事是可以同时做的，例如煮饭一般不需要人看的，而且煮饭、炒菜用不同的锅和炉子，所以煮饭、烧菜可以同时进行。可以列出如下表格：
小红可以先淘米再煮饭，在煮饭的同时洗菜、切菜、烧菜，最少需要时间：3+25=28（分钟）。
10个人各提1只水桶，同时到水龙头前打水。设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，依此类推，注满第几个人的桶就需要几分钟。如果只有一只水龙头，适当安排这10个人的顺序，就可以使每个人所费时间的总和尽可能小，问这个总费时至少是多少分钟？
【解析】：
每个人所费时间包括这个人打水的时间和等待的时间。10个人的总费时指的是10个人打水时间和等待时间的总和。
按照打水的先后顺序，我们把10个桶依次编号为一号、二号……十号。则一号桶打水时，有9个人等待，一号桶打水，总费时为打水时间的10倍；二号桶打水时有8个人等待，二号打水总费时是打水时间的9倍；依次类推，十号桶打水时，无人等待，只有打水人费时是打水时间的1倍。总费时是：
一号桶注水时间×10+二号桶注水时间×9+……+九号桶注水时间×2+十号桶注水时间
要使总费时最少，显然应该按注水时间从少多的顺序，安排先后顺序，尽可能让注水时间短的先打水，这个总费时至少是：
1×10+2×9+3×8+4×7+5×6+6×5+7×4+8×3+9×2+10×1=220（分钟）。
二、小试身手，练一练
1、三个旅游团同时取旅游，分别有84、97、58人，要求其中一个旅游团乘大车，一个乘中巴车，另一个乘小车，已知小、中、大车分别能容纳12，14，17人，每种车每辆收费分别为75元、85元、100元。那么这三个旅游团一共至少要花多少元车费？
（每辆车的收费是固定的，空位越少，人均费用就越低，三个团对应的选择3种车，应尽可能的使空位少。）
2、在一条公路上，每隔
三、课堂小结：
通过这节课的学习，你有什么收获？
逻辑推理初步
教学目标：
1、经历简单推理的过程，能对生活中的某些现象按一定的方法进行逻辑推理，并判断其结果。
2、通过有条理地表达自己思考的过程，培养学生初步的观察、分析及推理能力。
3、组织交流，让学生学会与他人合作交流，获得积极的情感体验。
4、感受到数学在日常生活中的广泛应用，尝试用数学的方法解决生活中的简单问题。
教学重点：简单推理的方法。
教学难点：推理依据的叙述.
教具准备：多媒体课件
教学过程：
一、你知道吗？读一读！
一桩谋杀案中，两个嫌疑犯甲和乙。另有四个证人正在受到讯问。第一个证人说：“我只知道甲是无罪的。”第二个证人说：“我只知道乙是无罪的。”第三个证人说：“前面两个证词中至少有一个是真的。”第四个证人说：“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”通过调查研究，已证实第四个证人说了实话，请你分析一下，凶手是谁？
二、学一学，我能行！
在有些问题中，条件和结论中不出现任何数和数字，也不出现任何图形，因而，它既不是一个算术问题，也不是一个几何问题。
也有这样的题目，表面看来是一个算术或几何问题，但在解决它们的过程中却很少用到算术或几何知识。
所有这些问题的解决，需要我们深入地理解条件和结论，分析关键所在，找到突破口，由此入手，进行有根有据的推理，做出正确的判断，最终找到问题的答案。这类问题我们称它为逻辑推理。
在这个案例中条件较多，且四个人的证词有真有假，在这种情况下，要善于抓住关键，由此入手进行有根有据的逐步推理。本题的关键是：第四个人说了实话。
因为第四个人说了实话，所以第三个人的证词是伪证，也就是说“前两个证词中至少有一个是真的”是句假话。由此可以断定，第一个和第二个证人都说了假话。从而判断出甲和乙都是凶手。
三、小试身手，练一练。
1. 有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，其中丙同学比丁同学高，比戊同学矮；丁同学比乙同学高；戊同学比甲同学矮。则最高的同学是＿＿，最矮的同学是＿＿。
2. 有四种树的照片，它们是桃树、杏树、李树、梨树，生物老师将照片从1到4编了号，让同学们区分四种树，每人说出两个，学生回答如下；第一个学生：2号是桃树，3号是李树；第二个学生：1号是梨树，2号是杏树；第三个学生：2号是桃树，4号是梨树；第四个学生：4号是梨树d号是李树。老师发现这四个同学都只说对了一半，那么，1号是＿＿，2号是＿＿，3号是＿＿，4号是＿＿。
四、阅读链接
为科学而疯的人
由于研究无穷时往往推出一些合乎逻辑的但又荒谬的结果(称为“悖论”)，许多大数学家唯恐陷进去而采取退避三舍的态度。在18, 74—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的无穷宣战。他靠着辛勤的汗水，成功地证明了一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。这样看起来，
康托尔的创造性工作与传统的数学观念发生了尖锐冲突，遭到一些人的反对、攻击甚至谩骂。有人说，康托尔的集合论是一种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚至说康托尔是“疯子”。来自数学权威们的巨大精神压力终于摧垮了康托尔，使他心力交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院。
真金不怕火炼，康托尔的思想终于大放光彩。1897年举行的第一次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟大的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从人们的崇敬中得到安慰和喜悦。
康托尔(1845—1918)，生于俄国彼得堡一丹麦犹太血统的富商家庭，10岁随家迁居德国，自幼对数学有浓厚兴趣。23岁获博士学位，以后一直从事数学教学与研究。他所创立的集合论已被公认为全部数学的基础
生活中的推理
学习目标：
1、通过解决实际问题，让学生经历对生活中某些现象进行判断、推理的过程，激发学生学习兴趣。
2、能借助列表整理信息，并对生活中某些现象按一定的方法进行推理，培养学生初步的逻辑推理能力。
3、通过自主探究、合作交流，展示自己的推理过程和结果，培养学生的语言表达和交流倾听能力。
学习重点：
经历对生活现象进行推理的过程，形成与掌握一些常用的推理方法。
学习难点：
信息的合理辨析，最直接信息的发现与利用。
教学建议：
1、立足学生的认知发展水平，设计的问题不宜太难，一般都有一个可以直接判断的条件。
2、在教学中注意渗透各种推理的方法，如排除法等。
3、在教学要体现列表法的优越性，鼓励学生用列表法来解决推理问题。
教学流程：
一、激趣引入，初步感知推理
1、趣味抢答，简单推理。
师：在上课之前，我们来玩一个游戏，趣味抢答，我说一句话，请你们根据我所说的话进行推理，说出你想到的结论
明明不是女生。
张老师上课从不讲英语。
数学考试考了前三名的小红既不是第一名也不是第三名。
办公室有四个人，我不是最高的，我可能是……？但是我比两个人高，我是第几高的？
……
2、揭题。
师：在生活中，我们常利用一些已知信息进行推理、判断。今天，我们要研究的有趣的数学问题就是——生活中的推理。（出示课题）
二、合作探究，形成一定的推理方法
1、理解题意：他们参加哪个兴趣小组？
出示：学校组织了篮球、书法和电脑兴趣小组，淘气、笑笑和小明分别参加了其中一项。
师指名读，老师引导他们：题目说了几个人？几个组？每人参加一个组，没有重复，是吗？到底哪个同学参加了哪个兴趣小组？你知道吗？猜猜看。（学生猜）
师：有太多的可能，我们不能确定他们分别是参加了哪个兴趣小组，现在请接着看。
出示：“淘气喜欢书法，小明不是电脑组的，笑笑不喜欢篮球。”
2、提问：现在你们能推断出来他们分别是参加了哪个兴趣小组了吗？
3、学生独立思考
4、小组内互相讨论、交流。
5、反馈：你们是怎么进行推理的？各小组代表进行汇报
师：为了让表达的同学思维更清晰，听的同学听得更清楚，我给大家提供一张表格，你觉得谁是那个小组的就在那个小组打个勾。谁愿意来说？
教师在黑板上贴出表格，让一名学生上台一边说推理的过程一边在表格里打“√”，确定了一个，也就否定了好几个，否定的打“×”
6、小结：先抓住直接信息：淘气喜欢书法，再利用表格进行推理，即清楚又快捷。
7、利用列表解决问题（书本上第2题）
学生先独立完成，再集体汇报。
三、练习提升
1、比高矮。（练一练中的第1题） 学生独立完成。
2、摆玩具。（练一练中的第2题）学生先在下面摆，两人合作，再汇报。
3、价格大比拼。（补充练习）
这六种玩具的价格分别是12元、10元、8元、8元、9元、6元。小狗不是最贵的，但比松鼠、洋娃娃、小喇叭、手鼓都贵；小喇叭与手鼓价格一样，洋娃娃比小喇叭的价格便宜。你能说出每种玩具的价钱吗？给每个玩具贴上价格。
四、评价总结
通过这节课的学习，你都知道什么了？懂得什么了？学到什么了？
抽屉与苹果（一）
教学目标：
1、在各类生活现象中初步感受抽屉原理，知道当苹果数大于抽屉数时，至少有一个抽屉里的苹果有2个或2个以上。
2、通过实践操作，能有序地思考、解决问题。
3、培养学生的观察、抽象和归纳概括的能力以及学生间的合作精神。
教学重点：感受抽屉原理。
教学难点：对“至少有一个抽屉里的苹果有2个或2个以上”这个结论的真正理解。
教学过程：
一、你知道吗？读一读
简单来说：桌上有5个苹果，要把这5个苹果放到4个抽屉里，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个、三个，甚至放五个，但无论怎样放，至少有一个抽屉里面至少放两个苹果。这个道理就是我们所说的抽屉原理。
二、学一学，我能行
【题目1】：某校中年级有367名学生，都是1992年出生的，老师不用查学生登记表，就能断言：“至少有2名学生在同一天过生日”，你知道为什么吗？
【解析】：1992年闰年，全年有366天，我们把366天看作366个抽屉，367名学生看作367个苹果，367个苹果放到366个抽屉里，至少有一个抽屉里有2个苹果，即至少有2名学生在同一天过生日。
【题目2】：在一条长
【解析】：这个人说得是对的。
我们从小路的一端开始栽树（可辅以画图），没隔
【题目3】：把54朵小红花分给10个小朋友，能不能使每个小朋友都有花，但花的朵数互不相同，为什么？
【解析】：不能。
每个小朋友都有花，分得最少的小朋友至少分到1朵花，则其他小朋友依次最少分得2、3、4、5、6、7、8、9、10朵，所以10个小朋友至少需要花：
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（朵）
54朵小红花不够分。
【题目4】：学校买来历史、文艺、科普3种图书各若干本，每名学生从中任意借2本，那么最少在多少名学生中，才一定能找到两人所借图书的种类完全相同？
【解析】：在3种图书中任意借2本，借出图书的种类共有6种可能：①历史、历史②文艺、文艺③科普、科普④历史、文艺⑤历史、科普⑥文艺、科普。我们把这6种可能看作6个抽屉，最少需要7名学生，才一定能出现两人所借图书的种类完全相同。
三、小试身手，练一练
【题目1】：木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？
【题目2】：一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
【题目3】：一副扑克牌有四种花色，每种花色各有13张，现在从中任意抽牌。问最少抽几张牌，才能保证有4张牌是同一种花色的？
四、阅读链接
关于抽屉原理的简要介绍
抽屉原理也称为鸽巢原理：如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子。它是德国数学家狄利克雷首先明确的提出来的，也称为狄利克雷原理。它是组合数学中一个重要的原理。
抽屉原理的一般含义：用每个抽屉代表一个集合，用每一个苹果代表一个元素，假如有n＋1或多于n＋1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
原理1：把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。
原理2：把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。
原理3：把（mn－1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m—1）个物体。
原理4：把无限多个东西任意分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。
抽屉原理虽然简单，但它可以解答很多有趣的、不同难度的问题，尤其是许多有关存在性的证明都可用它来解决。但运用抽屉原则只能证明“存在”、“总有”、“至少有”的现象，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。
抽屉原理（二）
这里我们讲抽屉原理的另一种情况。先看一个例子：如果将13只鸽子放进6只鸽笼里，那么至少有一只笼子要放3只或更多的鸽子。道理很简单。如果每只鸽笼里只放2只鸽子，6只鸽笼共放12只鸽子。剩下的一只鸽子无论放入哪只鸽笼里，总有一只鸽笼放了3只鸽子。这个例子所体现的数学思想，就是下面的抽屉原理2。
抽屉原理2：将多于m×n件的物品任意放到n个抽屉中，那么至少有一个抽屉中的物品的件数不少于m+1。
说明这一原理是不难的。假定这n个抽屉中，每一个抽屉内的物品都不到（m＋1）件，即每个抽屉里的物品都不多于m件，这样，n个抽屉中可放物品的总数就不会超过m×n件。这与多于m×n件物品的假设相矛盾。这说明一开始的假定不能成立。所以至少有一个抽屉中物品的件数不少于m＋1。
从最不利原则也可以说明抽屉原理2。为了使抽屉中的物品不少于（m＋1）件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入m件物品，共放入（m×n）件物品，此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有一个抽屉不少于（m＋1）件物品。这就说明了抽屉原理2。
不难看出，当m＝1时，抽屉原理2就转化为抽屉原理1。即抽屉原理2是抽屉原理1的推广。
例1某幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具122件，把这些玩具全部分给小朋友，是否会有小朋友得到4件或4件以上的玩具？
分析与解：将40名小朋友看成40个抽屉。今有玩具122件，122=3×40＋2。应用抽屉原理2，取n＝40，m＝3，立即知道：至少有一个抽屉中放有4件或4件以上的玩具。也就是说，至少会有一个小朋友得到4件或4件以上的玩具。
例2一个布袋中有40块相同的木块，其中编上号码1，2，3，4的各有10块。问：一次至少要取出多少木块，才能保证其中至少有3块号码相同的木块？
分析与解：将1，2，3，4四种号码看成4个抽屉。要保证有一个抽屉中至少有3件物品，根据抽屉原理2，至少要有4×2＋1=9（件）物品。所以一次至少要取出9块木块，才能保证其中有3块号码相同的木块。
例3六年级有100名学生，他们都订阅甲、乙、丙三种杂志中的一种、二种或三种。问：至少有多少名学生订阅的杂志种类相同？
分析与解：首先应当弄清订阅杂志的种类共有多少种不同的情况。
订一种杂志有：订甲、订乙、订丙3种情况；
订二种杂志有：订甲乙、订乙丙、订丙甲3种情况；
订三种杂志有：订甲乙丙1种情况。
总共有3＋3＋1=7（种）订阅方法。我们将这7种订法看成是7个“抽屉”，把100名学生看作100件物品。因为100＝14×7＋2。根据抽屉原理2，至少有14＋1＝15（人）所订阅的报刊种类是相同的。
例4篮子里有苹果、梨、桃和桔子，现有81个小朋友，如果每个小朋友都从中任意拿两个水果，那么至少有多少个小朋友拿的水果是相同的？
分析与解：首先应弄清不同的水果搭配有多少种。两个水果是相同的有4种，两个水果不同有6种：苹果和梨、苹果和桃、苹果和桔子、梨和桃、梨和桔子、桃和桔子。所以不同的水果搭配共有4＋6＝10（种）。将这10种搭配作为10个“抽屉”。
81÷10=8……1（个）。
根据抽屉原理2，至少有8＋1＝9（个）小朋友拿的水果相同。
例5学校开办了语文、数学、美术三个课外学习班，每个学生最多可以参加两个（可以不参加）。问：至少有多少名学生，才能保证有不少于5名同学参加学习班的情况完全相同？
分析与解：首先要弄清参加学习班有多少种不同情况。不参加学习班有1种情况，只参加一个学习班有3种情况，参加两个学习班有语文和数学、语文和美术、数学和美术3种情况。共有1＋3＋3＝7（种）情况。将这7种情况作为7个“抽屉”，根据抽屉原理2，要保证不少于5名同学参加学习班的情况相同，要有学生
7×（5-1）＋1＝29（名）。
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