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容斥原理
教学目标：
1、理解组合数学三大原理之一的容斥原理；
2、了解运用容斥原理处理的常见问题；
3、灵活使用容斥原理解决问题。
教学过程：
一、谈话导入：
当两个计算部分有包含重复时，应从它们的和中减去重复部分，才可能是正确的结果。这种数学原理，我们称为包含排除原理，即“容斥原理”。正确运用该原理，可以帮助我们解答很多有趣的数学问题。
二、教学新课
1、出示例题：
某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这三项都会的至少有几人？
2、分析：根据题意，会下棋的有48人，说明不会下棋的有52-48=4（人）；会画画的有37人，说明不会画画的有52-37=15（人）；会跳舞的有39人，说明不会跳舞的有52-39=13（人）。
那么，三项中有一个项目不会的人最多有4+15+13=32（人）。这样，我们就可以求出至少三项都会的人数。
板书：
解：52-48=4（人）
52-37=15（人）
52-39=13（人）
52-（4+15+13）=20（人）
答：这三项都会的至少有20人。
三、巩固练习：
出示：在100名学生中，爱好音乐的有56人，爱好体育的有75人，那么既爱好音乐又爱好体育的最少有多少人，最多有多少人？
独立解题，全班交流。
四、阅读链接《章鱼有几条腿？》
龟背上的洛书——三阶幻方
教学目标：
1、初步认识三阶幻方的起源和它的特征；
2、会根据三阶幻方的特征填写幻方；
3、学会自己构造一个三阶幻方。
教学过程：
一、谈话导入：
据说，大约公元两千年时，位于陕西的洛河常常泛滥成灾，威胁着两岸人民的生活与生产。于是，大禹日夜奔忙，曾三过家门而不入，带领人们开沟挖渠，疏通河流，驯服了河水，感动了上天。当时，一只龟从河中跃出，驮着一张图献给大禹，图上有九个数字。大禹因此得到上天赐给的九种治理天下的方法。
这张图，就是闻名于世的洛书。
二、教学新课
1、认识洛书
洛书在我国历史上曾叫做九宫图，也叫做纵横图，后来人们称它为幻方。现已确认，洛书是世界上最古老的幻方。由于它是由三行三列组成的，所以它被称为三阶幻方。
洛书上的三阶幻方是从一至九，九个数字的排列，有二个明显特点，一是奇数1、9、3、7占北、南、东、西四征位；偶数2、4、6、8均占斜位，即西南、东南、西北、东北；二是，不论沿正方位还是沿对角线，每三个数字都等于是15。
幻方出现之后，曾使不少人为之入迷，古今中外许多大数学家、大学者如欧拉、富兰克林等对幻方都很感兴趣。我国宋代数学杨辉是世界上第一位研究幻方的数学家，他比外国人研究幻方早了两千多年。
人们因它的性质之独特而大感兴趣，对其进行了多方面的研究。随着时代发展，出现了四阶幻方、五阶幻方、六阶幻方……在现代生活中，幻方在计算机程序设计、图论、人工智能、对策论、组合分析等方面有广泛的应用。
指出：洛书所表示的幻方是在3×3的方格子里（即三行三列），按一定的要求填上1～9这九个数，使每行、每列、及二条对角线上各自三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方。三阶幻方，是最简单的幻方。
2、下面就请同学们把1—9这九个自然数填在九空格里，使横、竖和对角在线三个数的和都等于15。
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想：1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10。这每对数的和再加上5都等于15，可确定中心格应填5，这四组数应分别填在横、竖和对角线的位置上。先填四个角，若填两对奇数，那么因三个奇数的和才可能得奇数，四边上的格里已不可再填奇数，不行。若四个角分别填一对偶数，一对奇数，也行不通。因此，判定四个角上必须填两对偶数。对角在线的数填好后，其余格里再填奇数就很容易了。
用1—9这九个自然数组成三阶幻方的方法很多，共有下面八种填写方法：
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4 |
9 |
2 |
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3 |
5 |
7 |
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8 |
1 |
6 |
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2 |
9 |
4 |
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7 |
5 |
3 |
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6 |
1 |
8 |
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8 |
1 |
6 |
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3 |
5 |
7 |
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4 |
9 |
2 |
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6 |
1 |
8 |
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7 |
5 |
3 |
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2 |
9 |
4 |
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8 |
3 |
4 |
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1 |
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9 |
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6 |
7 |
2 |
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4 |
3 |
8 |
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9 |
5 |
1 |
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2 |
7 |
6 |
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6 |
7 |
2 |
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1 |
5 |
9 |
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8 |
3 |
4 |
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2 |
7 |
6 |
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9 |
5 |
1 |
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4 |
3 |
8 |
3、这些幻方具有哪些特征？
交流，得出三阶幻方的特征：
（1）、幻和=中间数×3
（2）、与中间数对应的上下、左右、或对角线的两个数字的和=中间数×2
（3）、角上的数字=对角相邻的两数字和÷2
4、除了上面的方法外，有一种方法能很快地填出三阶幻方，就是用数学家杨辉总结的三阶幻方构造方法： “九子排列，上下对易，左右相更，四维挺出。” 来填写，那么把1—9这九个自然数填在三阶幻方里就可以按照下图填写：
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纵横图 |
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九宫图 |
注意：九个数斜排的时候，要按照从上向下的顺序依次填写，如果打乱顺序，结果可能就错了。
（1）请同学们用上面这种方法把3—11这九个自然数填在三阶幻方里。
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6 |
11 |
4 |
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5 |
8 |
9 |
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10 |
3 |
8 |
（2）我们不仅能用自然数排成幻方，还可以用分数、小数排出幻方。下面就请同学试一试，把0.8—1.6这九个小数填在三阶幻方里。
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1.1 |
1.6 |
0.9 |
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1.0 |
1.2 |
1.4 |
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1.5 |
0.8 |
1.3 |
三、巩固练习：
1、把下面幻方补完整。
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2 |
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4 |
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5 |
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6 |
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0.3 |
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0.4 |
0.6 |
0.8 |
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0.2 |
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2、用15——23填写一个三阶幻方。
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0.6 |
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0.9 |
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0.1 |
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0.8 |
3、下面就是一个由0.1——0.9填写的幻方，
你能试着把它填写完整吗？
四、课后拓展：
三阶幻方还有下面的解法：
（1）口诀法
一填首行正中央，依次斜排切莫忘，
上出下填右出左，若是重了填下方。
注意：“一填首行正中央”，指的是，这九个数中按照从小到大的顺序，第一个数要填在第一行的正中间一个方格中，“依次斜上莫要忘”，指的是后面一个数字填在前一个数的右上方，在填写的过程中，“上出下填右出左”即如果向上超出幻方，就填在这一列的最下方，如果向右超出幻方，就填在这一行的最左边一个方格中，“若是重了填下方”，若是发现要填的方格已经有数字占住了，那么，就填在前一个数字的正下方，对于数字“7”它正好位于行和列的交*位置，我们当作重复对待，填在前一个数字“6”的正下方。
（2）四角定位法
九数从小排到大，中间数字中间填，
四角填上偶数项，余下四数再补全。
注意：
四角上的偶数项，是指这九个数的第二、四、六、八个数，而不是指偶数；
四角上的偶数项，可以按“Z”字行排列，也可以按照“N”字行排列；
当四个角上的数都填好后，对角线上的三个数的和已经知道了，就可以根据这个和，求出其余的四个数。
小结：（1）事实上，大部分填写三阶幻方的九个不同的自然数，都是等差数列；
（2）三阶幻方不止有一种填写方法，当我们将上面填写好的三阶幻方，经过顺时针或逆时针旋转的时候，就能得到新的填写形式；
（3）以上介绍的两种填写三阶幻方的方法，其中后面一种，只适合三阶幻方，而第一种方法，适合三阶、五阶、七阶……等所有奇数阶幻方。
最大与最小
教学目标：
1、掌握选择由几个数字排列组成的两个数，得到它们最大的积和最小的积的方法及规律；
2、培养学生的数学兴趣和学习习惯。
教学过程：
一、谈话导入
在日常生活和生产实践中，人们总是在不断追求优质、高效，希望“少花钱，多办事”。人们所碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题（小学阶段通常称为最大最小问题）。最大最小问题涉及的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。
二、教学新课
1、出示：从1-9这9个自然数中选出8个填在下面8个“〇”内，使算式的结果尽可能大，这个最大的结果是__________。
[〇÷〇╳（〇+〇）]-（〇╳〇+〇-〇）
2、分析：要使这个算式结果最大，就是要使前面中括号中的结果（被减数）最大，后面小括号内的结果（减数）最小。要使被除数尽可能大，除数尽可能小，“╳”后面的两个加数也要尽可能大。要使减数尽可能小，后面小括号内的〇╳〇尽可能小。
板书： 解：[9÷1╳（8+7）]-（2╳3+4-6）=131
三、巩固练习：
出示：有A、B、C、D4个自然数，取其中3个数相加，和分别是217，206，185，196，则A、B、C、D中最大的数与最小的数之差为多少？
独立解题，全班交流。
四、阅读链接《世界地理之最》
了解世界最高的高原、世界最大热带雨林分布区及最大的平原、世界上最大的沙漠、世界最大盆地、世界上最大的高原、世界上最长的山脉等等。
二十七个小正方体的故事
教学目标：
1、根据正方体的特征，利用学具体找到每种涂色情况的小正方体，首先确定每种涂色情况的小正方体的位置规律。
2、通过课件的直观演示，变静态为动态，观察出每种涂色情况的小正方体的位置及数量的规律。
3、使学生体验到探索的乐趣。
教学过程：
一、谈话导入
鲁班是一位非常有名的巧木匠。传说鲁班在学艺时经常对着一堆木头发呆。有一天，师傅想试试鲁班的真才实学，于是，师傅指着在院中放的一些方木对鲁班说：有八方木三色，十二方木二色，六方木一色，一方木无色，欲合同色大方木，可否？鲁班对着这些方木想了一会儿，不到一柱香的功夫，鲁班便把一个涂有相同颜色的大方木交给了师傅，师傅看后点了点头。你知道鲁班是怎样把这些小方木很快地合成一个大方木的吗？如果你想知道其中的奥秘，那就让我们一起来探索吧！
二、教学新课
1、师：一个棱长3厘米的正方体，在它的每个面上都涂上颜色。再把它切成棱长1厘米的小正方体。切完后小正方体散落开来，你能把它恢复原状吗？
动手试一试!
想一想：小正方体涂色面分几种情况，各在什么位置？个数分别是多少？
议一议：小正方体的涂色面与什么有关？它们分别在大正方体的什么位置？
过渡：我们一起来看下面的例子吧。
2、出示例题：有两个正方体，棱长分别是4厘米、5厘米，把这两个正方体表面都涂上颜色，然后再分别切成棱长是1厘米的小正方体。
观察和思考下列问题：其中三面涂色的有几个?两面涂色的有几个?一面涂色的有几个?各面都没有涂色的有几个?
独立思考，展开想象，然后把结果填入下表。
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棱长
种类 |
4厘米 |
5厘米 |
发现的规律 |
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3面涂色 |
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2面涂色 |
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1面涂色 |
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没有涂色 |
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观察上面的统计表，你发现了什么规律？跟你的猜想一样吗？
3、小结：三面涂色的小正方体都在顶点位置，个数等于顶点个数。
两面涂色的小正方体都在棱的位置，个数等于（棱长-2）×12。
一面涂色的小正方体都在面的位置，个数等于（棱长-2）×（棱长-2）×6。
没有涂色的小正方体都被包在里面，个数等于（棱长-2）×（棱长-2）×（棱长-2）。
过渡：运用发现的规律，你能像鲁班一样把散落的小方木合成一个涂色的大方木吗?动手试一试。
三、巩固练习：
1、一个棱长7分米的正方体，在它的每个面上都涂上颜色。再把它切成棱长1分米的小正方体，这些小正方体中，一面涂色的、二面涂色的、三面涂色的以及六个面都没有涂色的各有多少个？
2、把若干个体积相同的小正方体堆成一个大的正方体，然后在大正方体的表面涂上颜色，已知两面被涂色的小正方体共有24个，那么，这些小正方体一共有多少个？
四、阅读链接
上面我们在研究染色问题时，是用正方体的棱长来计算的，在染色的问题中还有很多有趣的学问。
生活中还有很多有趣的规律等待我们去研究，只要大家肯动脑筋，就一定会有发现。
巧求表面积
教学目标：
1、使学生掌握长方体和正方体的表面积计算方法，进一步发展空间观念。
2、探索求长方体和正方体组合图形表面积的巧妙方法，激发学生学习数学的兴趣。
教学过程：
一、复习引入
1、我们已经认识了长方体和正方体，知道长方体或正方体六个面面积的总和叫做长方体或正方体的表面积。怎样计算长方体和正方体的表面积？
2、对于由几个长方体或正方体组合而成的几何形体，或者是一个长方体或正方体组合而面的几何形体，它们的表面积又如何求呢？
二、探索新知
1、教学例1
你能用自己的方法解决下面这个问题吗?
出示例1：在一个棱长为3厘米的正方体上放一个棱长为2厘米的小正方体（如图），求这个立体图形的表面积。
小组讨论、汇报交流
像这种类型的，把几个立体图形叠在一起，再求表面积的问题，我们可以把复杂问题简单化。也就是我们把上面的小正方体想象成是可以向下“压缩”的，压缩后发现：小正方体的上面与大正方体上面的阴影部分合在一起，小正方体的上面就不存在了。这个立体图形的表面积就可以分成这样两部分：
上下方向：大正方体的两个底面；列式是：3×3×2=18（平方厘米）
侧 面：小正方体的4个侧面和大正方体的4个侧面。
小正方体的四个侧面的面积：2×2×4=16（平方厘米）
大正方体的四个侧面的面积：3×3×4=36（平方厘米）
这个立体图形的表面积：18+16+36=70（平方厘米）
换个角度，我们还可以通过替换来解决这个问题，也就是用小正方体的上面替换大正方体被压的上面的一部分，即这个立体图形的表面积看成两部分：小正方体的四个侧面的面积和一个完整的大正方体的表面积。
列式为：2×2×4+3×3×6=70（平方厘米）
2、教学例2
出示例2：如图表示一个正方体,它的棱长为4厘米,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体,问此图的表面积是多少?
学生小组讨论
汇报交流
方法一：
大正方体表面还剩的面积为 （平方厘米）
六个小空的表面积为 （平方厘米）
这个图的表面积就是90+30=120（平方厘米）
方法二：
大正方体的表面积为6×4×4=96（平方厘米）
六个小空的侧面积1×4×6=24（平方厘米）
这个图的表面积为96+24=120（平方厘米）
三、巩固练习
1 、在一个棱长为5分米的正方体上放挖一个棱长为4分米的小正方体（下图），求这个立体图形的表面积。
2、把7个棱长为1厘米的正方体叠放在一起，按右图中的方式拼成一个立体图形。求这个立体图形的表面积。如图
四、阅读链接《几何之父欧几里德》
探讨正方体展开图的相对面
教学目标：
1、通过对实物模型的操作，深入研究各类正方体的展开图，,探索它们之中隐含的各种奥秘、规律，归纳出寻找“相对面”的巧妙办法。
2、进一步发展空间观念，使学生感受数学的神奇美。
教学过程：
一、引入新课
通过学习，我们知道了由六个小正方形拼成的35种图形中，只有11种是正方体的平面展开图。这11种展开图还有规律可循，另外24种不能组成正方体的也有规律可循。利用这些小小的发现可以帮助我们更快解决正方体展开图的问题。原本一个小小的正方体，却有这么多学问。在这11种正方体的展开图中，哪些面又是“两两相对”的呢?你能很快地找出相对面吗？原来寻找“对面”又是有学问的，让我们一起来研究。
二、探索规律
1、出示正方体的11种展开图，分别用相同的图案代表相对面。
我们就 面的位置来探讨，不外乎这四种排列方式。
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（1×3）（2×3） （3×3） （3×4）
第一种对面的关系是中间隔着一个面，是最常见，共出现在图1、6、10中，也较容易了解，我们称它为【1×3】；第二种对面关系是在2×3格子內的对角位置，出现在图2、5、7、8、9、11中，称为【2×3】；第三种对面的关系则是在3×3格子內的对角位置，出现在图3，称为【3×3】；第四种对面的关系则是在3×4格子的对角位置出现在图4，称为【4×3】。
接着，我们发现 这组对面在【1×3】出现9次，在【2×3】出现2次，在【3×3】出现0次，在【4×3】出现0次；绿色这组对面在【1×3】出现8次，在【2×3】出现2次，在【3×3】出现1次，【4×3】出现0次。
我们来统计一下：这11种展开图共有33组对面，【1×3】总共20次，【2×3】出现10次，【3×3】出现2次，【4×3】仅出现1次。因此，我们发现若要用这4种模式找“相对的面”，可能要按照【1×3】、【2×3】、【3×3】、【4×3】的順序来寻找。
三、运用规律
下面我们用这4种模式去寻找两两相对面，但必须按【1×3】、【2×3】、【3×3】、【4×3】的顺序去寻找，即先找【1×3】，再找【2×3】，再来是【3×3】，最后才是【4×3】。
例1、 找出下面这个展开图的相对面
例2、
先用【1×3】找出 这组相对面，再用【1×3】找出 的相对面，剩下灰色符合【2×3】，即灰色又是一组相对面。
利用这种方法不仅能找到正方体相对的面，还能够判断图形是否是正方形展开图。
例2、判断下图是不是正方体的展开图
先用【1×3】找出 这组相对面，再用【2×3】找出 的相对面，剩下灰色不能符合对面模式，所以证明不是正方体展开图。
若未依照【1×3】、【2×3】、【3×3】、【4×3】的順序来找出相对面，将发生错误，如下面所示。可在粗线条框內，先后找出符合【2×3】的两组对面，结果剩下的灰色面也是符合【2×3】，就无法证明其图形不能组成正方体。
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四、巩固练习
找出下列图形中相对的面。
五、课堂小结，阅读链接《我变、我变、我变变——数学方块艺术的创作》
用方程解决问题
教学目标：
1、掌握利用利用加、减、乘、除各部分之间的关系解方程的方法，并能解决稍复杂的实际问题。
2、进一步培养学生观察、思考、分析问题、解决问题的能力。
3、感受数学与生活的紧密联系，体会数学的价值，激发学生学习数学的兴趣。
教学过程：
一、引入新课
列方程解应用题的方法就是以字母代替未知数，使未知数处于与已知数平等的地位，直接参加运算，能够全面的反应数量关系。算术解法中，未知数始终作一个目标处于特殊的地位，不参加列式运算，方程解法中把未知数用“X”表示，一开始就让未知数与已知数处于同等的地位，未知数可以直接参加列式运算。以前我们学习的方程是运用等式的基本性质来求解，今天我们来学习方程的另外一种解法。
二、学习新课
1、出示例题
鸡和兔子一共有12只，数一数，一共有30条腿，请问，鸡和兔子各有多少只呢？（用方程解答）
学生读题，分析已知条件和问题。
2、说说数量关系
3、尝试用方程解题。
汇报交流两种解法：
A、我会用方程计算，通过读题我们可知本题要求两个未知量，鸡和兔各几只？题中已知鸡和兔共12只，如果设兔为x只，那么鸡就有（12-x）只，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么兔就共有4 x条腿，鸡就共有（12- x）×2条腿。这样4 x +（12- x）×2就应该是题中给出的30条腿，根据题意列出方程：
解：设兔子有x只，那么鸡就有（12－x）只。
4x+(12－x)×2=30
4x+24－2x=30
2x+24=30
2x=6
x=3
12－x=12－3=9
答：兔子有3只，鸡有9只。
B、我是这样想的，我先设鸡为x只，那么兔就有（12-x）只，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么鸡就共有2 x条腿，兔就共有（12- x）×4条腿。这样2 x +（12- x）×4就应该是题中给出的30条腿，根据题意列出方程：
解：设鸡有x只，那么兔有（12－x）只。
2x+(12－x)×4=30
2x+48－4x=30
48－2x=30
可以把2x当作减法算式中的减数，根据减数=被减数－差
所以， 48－2x=30
2x=48－30
2x=18
X=9
12- X=12-9=3
答：鸡有9只，兔子有3只。
小结：在解方程时，我们也可以利用加、减、乘、除各部分之间的关系来解。
三、巩固练习
1、甲、乙两城相距520千米，货车的速度是每小时52千米，客车的速度是每小时65千米，两车同时从甲、乙两地相向而行，几小时后两车还相距52千米?
2、已知三角形的面积是102平方厘米，高是12厘米，求三角形的底。
3、560÷x=16
四、阅读链接，了解一元一次方程。
逻辑推理
教学目标：
1、借助列表整理信息，并对生活中某些现象按一定的方法进行推理，培养发展学生的逻辑推理能力。
2、有条理地表达自己思考的过程，与同伴进行交流，培养合作意识。
3、渗透知识之间的内在联系
教学过程：
一、谈话导入
今天这节课，我们将要讨论的问题看上去没有什么数学的“味道”，因为问题中不涉及数据，也没有几何图形，只涉及一些相关联的条件，不需要也不可能通过演算或作图来加以解决。但是讨论这些问题，必须有条理清晰的思维和严谨有序的推理。这种训练对提高我们的数学思维能力是大有帮助的。
二、教学新课
1、出示例题
刘刚、马辉、李强三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛。事先规定：兄妹二人不许搭伴。
第一盘：刘刚和小丽对李强和小英；第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹。问：三个男孩的妹妹分别是谁？
2、理解题意。
默读题目，能读懂吗？小组内说说你读懂了什么。
3、汇报：你得到了哪些信息？
默读题目，能读懂吗？小组内说说你读懂了什么。
3、汇报：你得到了哪些信息？
（板书：化繁为简，列表分析）出示表格。
解题思路：
根据题目中的已知条件列表：
已知条件：“第一盘：刘刚和小丽对李强和小英”
分析：由于兄妹二人不许搭伴，所以刘刚和小丽不是兄妹，李强和小英不是兄妹，在表格相应的行、列交*格打*“×”。
已知条件：“第二盘：李强和小红对刘刚和马辉的妹妹”
分析：李强和小红不是兄妹；刘刚和马辉的妹妹搭伴，马辉的妹妹肯定不是小红（此时李强正在和小红搭伴），在表格相应的行、列交*格打*“×”。
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小丽 |
小英 |
小红 |
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刘刚 |
× |
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马辉 |
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× |
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李强 |
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× |
× |
从表中的第四行可以看出，李强的妹妹只能是小丽，在表格相应的行、列交*格打*“√”。
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小丽 |
小英 |
小红 |
|
刘刚 |
× |
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|
马辉 |
|
|
× |
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李强 |
√ |
× |
× |
从表中的第二列可以看出，小丽不是马辉的妹妹，在表格相应的行、列交*格打*“×”。
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小丽 |
小英 |
小红 |
|
刘刚 |
× |
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马辉 |
× |
|
× |
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李强 |
√ |
× |
× |
继续分析：
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小丽 |
小英 |
小红 |
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刘刚 |
× |
×③ |
√② |
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马辉 |
× |
√① |
× |
|
李强 |
√ |
× |
× |
所以，刘刚的妹妹是小红，马辉的妹妹是小英，李强的妹妹是小丽
4、小结：解决问题的方法是多种多样的，还有不同的推理方法吗？你来跟大家分享你的想法？不管用什么方法，我们最后的结论是什么？（是相同的）
4、小结：解决问题的方法是多种多样的，还有不同的推理方法吗？你来跟大家分享你的想法？不管用什么方法，我们最后的结论是什么？（是相同的）
三、巩固练习
甲、乙、丙3名学生分别戴着种不同颜色的帽子，穿着3种不同颜色的衣服参加一次宣传活动。已知：（1）帽子和衣服的颜色只有红、黄、蓝3种；（2）甲没戴红帽子，乙没戴黄帽子；（3）戴红帽子的学生没穿蓝衣服；（4）戴黄帽子的学生穿红衣服；（5）乙没穿黄衣服。问：这3人分别戴什么帽子，穿什么衣服？
四、阅读链接《从一加到一百》
商业中的数学
教学目标：
1、经历了解信息、选择信息、提问题并解答有关折扣问题的过程。
2、了解“打折”的含义，会解答有关“打折”的问题。
3、体验百分数在现实生活中的广泛应用，获得用数学解决问题的成功体验，丰富学生的生活经验。
教学过程：
一、谈话导入
百分数应用题中还经常涉及到一些利润计算的问题。利润问题也是一种常见的百分数应用题。例如，某商品的买入价（也叫进货价或成本价）是100元，以130元卖出，就获得利润30元。用利润÷成本，即30÷100=0.3=30%，我们也可以说获得了30%的利润，利润的百分数就是30%。
工厂和商店有时减价出售商品，通常我们把它称为打“折”出售，几折就是百分之几十。如果某种商品打“八折”出售，就是按原价的80%出售。利润问题和商品出售问题与我们平时的生活实际的联系是十分紧密的。
二、教学新课
1、出示例题：某商品打八折出售，仍能获得20%的利润，定价时期望的利润百分数是多少？
2、分析：先要找出定价时的成本。按定价打八折出售，仍可获20%的利润，说明打八折的卖价是成本的120%，可是定价不知道，应该怎么办？可以假设开始时定价为1。
板书： 解：（1）商品的实际卖价：1×80%=0.8
（2）商品的实际成本：0.8÷（1+20%）=
（3）定价时期望的利润百分数：
（1- ）÷ =50%
答：定价时期望的利润百分数是50%。
三、巩固练习
一种商品，进货价是250元，售价是300元。这种商品卖出后所能获得的利润占成本的多少？
独立解题，全班交流。
四、阅读链接《奇迹》
不管是文学还是数学，结局都很神奇——爱加上智慧原来是能够产生奇迹的。
趣题巧解
教学目标：
1、了解对分法、三分法等，并能灵活解题。
2、有条理地表达自己思考的过程，与同伴进行交流，培养合作意识。
3、渗透知识之间的内在联系
教学过程：
一、游戏导入：
生活中的许多事都蕴含着数学思想，我们先看一个猜数游戏。
甲心中想一个32以内的数，乙只许问“比某数大吗？”甲只回答“是”或“不”，那么乙最多5次必可猜中。比如甲想的是23，下面是5次提问与回答：
（1）“比16大吗？”，“是”；（2）“比24大吗？”，“不”；
（3）“比20大吗？”，“是”；（4）“比22大吗？”，“是”；
（5）“比23大吗？”，“不”。于是乙猜中甲想的23。
师指出：这里乙用的是对分法。32的一半是16，第1次问话后，乙知道甲想的数在17～32之间； 17～32中间的数是24，第二次问话后，乙知道甲想的数在17～24之间。依此类推，因为32=25，经5次对分，必猜中。
对分法适用于一次试验仅有两种不同结果的情形。
二、教学新课
1、教学例1
出示：有1000箱外形完全相同的产品，其中999箱重量相同，有1箱次品重量较轻。现有一个称（一次可称量500箱），怎样才能尽快找出这箱次品？
2、分析：因为称量一次只有两种结果：等于规定重量或轻于规定重量，所以可用对分法。先取500箱称，若等于规定重量，则次品在另500箱中；若轻于规定重量，则次品在这500箱中。然后对有次品的500箱再对分，取其中的250箱称……因为1000＜1024=210，所以经过10次称必可查出次品。
学生交流
过渡：若一次试验可以有三种不同的结果，则可用三分法。
3、教学例2
出示：现有80粒重量、外形完全相同的珍珠和1粒外形相同、但重量较轻的假珍珠，怎样才能用一台天平尽快地将这粒假珍珠挑出来？
分析：因为天平称重有三种结果；①两边一样重，②左边重，③右边重，所以可以用三分法。
先将81粒珍珠三等分，在天平两边各放27粒珍珠，天平下还有27粒。若两边一样重，则假珍珠在天平下的27粒中；若左边重，则假珍珠在天平右边的27粒中；若右边重，则假珍珠在天平左边的27粒中。
然后再将有假珍珠的一堆三等份，继续上面的做法。因为81=34，所以只需要称4次就可将假珍珠挑出来。
三、巩固练习：
1、甲、乙玩猜数游戏。甲在心中想好一个1000以内的数，乙只许问“比某数小吗？”甲只回答“是”或“不是”。那么乙最少问几次就一定能猜中这个数？
独立解题，全班交流。
2、现有700粒相同的珍珠和1粒外形相同、重量略轻的假珍珠，用一台天平至少称几次，就一定能把这粒假珍珠挑出来？
独立解题，全班交流。
四、阅读链接《芝诺悖论》
巧求复杂图形的体积
教学目标：
1、使学生进一步明确立体图形的体积的概念，熟练掌握复杂立体图形的体积计算，能运用所学知识解决实际问题。
2、进一步培养学生的空间观念及对知识进行分析、比较、归类、整理的学习能力。
3、让学生在解决实际问题的过程中，感受数学与生活的联系，体会数学的价值，进一步培养学生的合作意识和创新精神。
教学过程：
一、故事导入：爱迪生的故事
谈话：这节课我们也要做聪明的爱迪生，来解决一些复杂图形的体积问题。
二、教学新课
1、教学例1
出示：在一块平坦的水泥地上,用砖和水泥砌成一个长方体的水泥池,墙厚为10厘米(底面利用原有的水泥地).这个水泥池墙壁的体积是多少？
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1.8 |
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2 |
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3 |
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单位:米 |
分析：这个水泥池子如果是实心的其体积为：2×3×1.8=10.8m³，里面空心部分的体积是：（3-0.1×2）×（1.8-0.1×2）×2=8.96m³，用前者减去后者即10.8-8.96=1.84m³。
2×3×1.8-（3-0.1×2）×（1.8-0.1×2）×2=1.84m³
2、教学例2
出示：把若干个边长为2厘米的正方体重叠起来堆成如下图所示的立方体,这个立方体的体积是多少立方厘米？
分析：先要数一数一共有多少个正方体，一共19个，则这个立体图形的体积为：2×2×19=76 cm³
3、教学例3
出示：如图,从长为13厘米,宽为9厘米的长方形硬纸板的四角去掉2厘米的正方形,然后,沿虚线折叠成长方体容器.这个容器的容积是多少立方厘米？
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9 |
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13 |
分析：容器在做成后它的长是13-2×2，宽是9-2×2，高是2，所以容器的体积是 （13-2×2）×（9-2×2）×2=90 cm³
三、巩固练习
1、如图表示一个正方体,它的棱长为4厘米,在它的上下、前后、左右的正中位置各挖去一个棱长为1厘米的正方体,问此图的体积是多少?
独立解题，全班交流。
四、阅读链接：阿基米德关于球的体积公式。
五、课后作业：
自己试着去搜集一下材料，看你能不能解释清楚。
时钟问题
教学目标：
1、行程问题中时钟的标准制定。
2、时钟的时针与分针的追及与相遇问题的判断及计算。
3、时钟的周期问题。
教学过程：
一、谈话导入：
同学们对时钟一定非常熟悉了，但是对钟面上的许多有趣的数学问题却不一定清楚。在解决时钟问题时，首先要弄清时、分、秒之间的基本换算，弄清时针和分针的行走速度：
（1）按“时”算，分针每小时走60小格，时针每小时走5小格，分钟每小时比时针多走55小格。
（2）按“分”算，分针每分走1小格，时针每分走 小格，分针每分比时针多走 小格。
当然，分析时针和分针的行走速度，也可以用大格来研究，但不管怎样，分针行走的速度始终是时针的12倍。
二、教学新课
1、出示例题：
从7点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？
2、分析：这个问题可以转化成“追及”问题来解决。7点整，时针指向7，分针指向12。分针走得快，时针走得慢，两针同时出发，就好比分针去追赶时针一样，当分针追上时针，时针和分针也就重合了。
钟面一周有60小格，分针在时针后面35小格，要追及的路程就是35小格；分针每分钟走1小格，时针每分钟走 小格，分针每分钟可以追1- = 小格。最后用“路程÷速度差=追赶的时间”来计算。
板书： 解：35÷（1- ）=38 （分）
答：再经过38 分，时针正好和分针重合。
三、巩固练习：
出示：从5点整开始，再经过多少分钟，时针正好和分针重合？
独立解题，全班交流。
四、阅读链接《为什么时间和角度的单位用六十进位制》
这种六十进位制（严格地说是六十退位制）的小数记数法，在天文历法方面已长久地为全世界的科学家们所习惯，所以也就一直沿用到今天。
神奇的纸圈——莫比乌斯圈
教学目标：
1、在动手操作活动中，经历探索莫比乌斯圈神奇特征的过程。
2、学会制作简单的莫比乌斯圈，了解莫比乌斯圈的特征。
3、感受莫比乌斯圈的神奇，体会数学活动的趣味性和探索性。
教学准备：
1、三张长30厘米，宽3厘米的长方形纸条（其中一张中间画有二等分线，一张有三等分线）
2、剪刀、胶带纸、水彩笔
教学过程：
一、故事导入，引出莫比乌斯圈。
同学们，今天我们用大家准备的纸条来探索一种神奇的纸圈，这个纸圈是什么呢？大家先来看一段小故事。
出示：读一读！你知道吗？
指名读故事。
通过这个故事你了解到哪些信息？你有什么想说的？
德国数学家莫比乌斯发明的这个纸圈到底有什么神奇之处呢？下面我们就一起来探索一下。
二、教学新课
1、一起动手制作莫比乌斯圈。
让学生根据故事中的内容用正反颜色不同的纸试着做出一个莫比乌斯圈和一个普通的纸圈。
指名演示制作过程。重点说说是如何制作的。
出示：普通的纸圈
这个纸圈它有几个面？几条边？
请学生上前演示，用手摸摸看两个面、两条边。
围成一个圈，数学上把这种有内外之分的纸圈称为双侧面纸圈。板书：双侧面
再出示：莫比乌斯圈
2、那这样一个纸圈真的是一条边、一个面吗？你想怎样来检验？
让我们拿出笔，把笔尖当成是只小甲虫，沿着纸圈中间画线，看能不能一笔画遍整个圈？
为什么会出现这样的结果呢？你能做出解释吗？
是不是一条边呢？操作实验。
汇报实验结果。
我们把它变成了一条边一个面的圆环，在数学上称为单侧面。（板书）
3、了解莫比乌斯圈的特征。
莫比乌斯圈到底有多神奇呢？下面我们就用“剪”的办法来研究。
（1）、两等分剪开
老师先拿出平常的纸圈，问：如果沿着纸带的中间剪下去，会变成什么样呢？
拿出一张中间画有一条等分线的纸条制作一个莫比乌斯圈。
如果沿着纸圈上的中线剪开，莫比乌斯带会变成什么样？
实践是检验真理的唯一标准，就让我们动手验证一下吧！注意我们要沿着纸圈上的中线剪。
交流结果：变成了一个更大的圈。
这还是不是莫比乌斯圈？你有什么办法证明它是还是不是？
（板书：两等分剪开――１个非莫比乌斯圈）
（2）、三等分剪开
拿出一张中间画有二条等分线的纸条，把中间一等份涂色，制作一个莫比乌斯圈。
刚才我们是沿正中间两等分线剪开，变成了１个一端扭转了两个360度的大圈。假如是三等分剪开，又会变成什么样子呢？
如果我们要沿着三等分线剪，猜一猜：要剪几次？剪的结果会是怎样的？
三、巩固练习
你能不能用一张A4的纸做一个可以套在你身上的大纸环，前提是只能用剪刀剪出一个封闭的纸环。
四、阅读链接
1、过山车、莫比乌斯爬梯
2、克莱因瓶
3、不可能图形邮票
绘制五角星
教学目标：
1、通过本节课的学习，会画一个五角星，会用一张纸制作一个五角星，培养学生分析问题和解决问题的能力及动手实践能力。
2、通过本节课的学习，让学生通过感知、观察、试验、操作等活动充分感受数学在实际生活中的作用。
3、在学习探讨的过程中体验数学问题的探索性与创造性，通过学生之间的交流与合作，培养学生在独立思考的基础上，能够尊重理解他人的意见，并学会与他人合作的能力。在合作中体验成功的喜悦，树立信心。
教学过程：
一、故事导入，引出五角星。
五角星（Pentangle）它的作图法是由毕达哥拉斯派的人发现的，后来他们用五角星作为他们秘密组织的徽章和联络标志，称之为“健康”。
现今世界各国的国旗上，凡是“星”几乎没有例外都画成五角星。它也被很多国家的军队作为军官（尤其是高级军官）的军衔标志使用。为什么五角星有这么大的魅力？下面就请你们来听一个故事。
二、教学新课
1、学画五角星。
（1）画一个圆。
（2）以圆心为顶点连续作五个72度的角，角的边和圆相交于5个点。
（3）连接每隔一点的两个点。
（4）擦去多余的线，得到五角星。
2、认识黄金三角形。
五角星是非常美丽的，我们的国旗上就有五颗，还有不少国家的国旗也用五角星，这是为什么？因为在五角星中出现的所有三角形，都是黄金三角形。
黄金三角形分两种：
一种是等腰三角形，两个底角为72°，顶角为36°。
另一种也是等腰三角形，两个底角为36°，顶角为108°。
三、巩固练习
1、画出两种不同的黄金三角形。
2、自己绘制一个正五角星吧。
四、阅读链接《黄金分割》
合理设计购房方案
教学目标：
1、指导学生综合运用所学的数学知识解决购房中的数学问题。
2、培养学生收集信息、处理信息和利用信息的能力。
3、让学生体验数学与生活的密切联系，激发其学习兴趣。
教学过程：
一、谈话导入。
随着社会的进步，经济的发展，城市建设的步伐越来越快，人们的生活水平也越来越高。因此，许多家庭已经或正准备购买住房，以进一步改善居住条件，提高生活质量。
在购房过程中，需要考虑的因素很多，如：楼盘质量、地理位置、面积大小、交通状况、装修水平等，其中人们最关注的问题主要是购房总价、现有购房资金以及差价（结余）如何解决几方面。
二、教学新课
出示例题：
表1 |
交流讨论，并板书：
6800元=0.68万元
0．68×98×1.1=73.304（万元）
三、巩固练习
实践活动：合理设计购房方案
小明家（三口人）因旧房拆迁，获拆迁补偿款32万元，家中原有存款10万元。计划在以下几个楼盘中选购一套住房。请帮助小明合理设计购房方案。
备注：1．楼层系数见表1。
2．购房款一次付清可优惠5%。
3．贷款方式：公积金贷款、商业贷款。
购房方案
购房总价（ 地 型 楼）：
现有款项：
相差(或结余)款项：
解决办法：
, ,
设计理由：
四、阅读链接，认识“均价”。
设计理由：
四、阅读链接，认识“均价”。
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